Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.
Пусть X , Y {\displaystyle X,Y} — банаховы пространства. Линейный оператор T : X → → --> Y {\displaystyle T:X\to Y} называется компактным, если любое ограниченное подмножество в X {\displaystyle X} он переводит в предкомпактное подмножество в Y {\displaystyle Y} .
Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор T : X → → --> Y {\displaystyle T:X\to Y} называется компактным, если его сужение на единичный шар в X {\displaystyle X} является непрерывным отображением относительно слабой топологии в X {\displaystyle X} и нормовой топологии в Y {\displaystyle Y} . Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.
Множество компактных операторов T : X → → --> Y {\displaystyle T:X\to Y} обозначается через K ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)} . Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} , действующих из X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} .
Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:
Диагональный оператор T λ λ --> : l 2 → → --> l 2 {\displaystyle T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2}} , соответствующий последовательности λ λ --> = ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , … … --> ) {\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )} и действующий по правилу x = ( x 1 , x 2 , … … --> ) → → --> ( λ λ --> 1 x 1 , λ λ --> 2 x 2 , … … --> ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )} ограничен тогда и только тогда, когда последовательность λ λ --> {\displaystyle \lambda } ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности λ λ --> {\displaystyle \lambda } к нулю.
Обратимый оператор A : X → → --> Y {\displaystyle A:X\to Y} компактен тогда и только тогда, когда X , Y {\displaystyle X,Y} конечномерны.
Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора T : X → → --> Y {\displaystyle T:X\to Y} , где Y {\displaystyle Y} — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к T {\displaystyle T} по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства Y {\displaystyle Y} . Говорят, что банахово пространство Y {\displaystyle Y} обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства X {\displaystyle X} любой компактный оператор T : X → → --> Y {\displaystyle T:X\to Y} может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации.
Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что K ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)} является подпространством в L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} . Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда X = Y {\displaystyle X=Y} , пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда K ( X , X ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(X,X)} является замкнутым двусторонним идеалом в L ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X)} .
Свойство аппроксимации для пространства Y {\displaystyle Y} можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства X {\displaystyle X} пространство K ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)} является замыканием пространства конечномерных операторов из X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} .
Пусть T : X → → --> X {\displaystyle T:X\to X} — компактный оператор. Тогда оператор K = I − − --> T {\displaystyle K=I-T} является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для K {\displaystyle K} : он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора T {\displaystyle T} в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора T {\displaystyle T} .
В случае, когда оператор T {\displaystyle T} является самосопряженным (здесь X {\displaystyle X} гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов e 1 , e 2 , … … --> {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots } и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов) λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , … … --> {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots } , такие, что оператор T {\displaystyle T} действует по правилу T ( x ) = ∑ ∑ --> n λ λ --> n ( x , e n ) e n {\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n}} . Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.
Пусть T : X → → --> Y {\displaystyle T:X\to Y} — компактный оператор, X , Y {\displaystyle X,Y} — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности e 1 , e 2 , … … --> {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots } в X {\displaystyle X} и f 1 , f 2 , … … --> {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots } в Y {\displaystyle Y} и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности) s 1 , s 2 , … … --> {\displaystyle s_{1},s_{2},\dots } , сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор T {\displaystyle T} действует по правилу T ( x ) = ∑ ∑ --> n s n ( x , e n ) f n {\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n}} . Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта — Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа s 1 , s 2 , … … --> {\displaystyle s_{1},s_{2},\dots } , которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.
Если для оператора T {\displaystyle T} сходится ∑ ∑ --> n s n 2 {\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2}} , то оператор называется оператором Гильберта — Шмидта. Норма вводится соотношением ‖ ‖ --> T ‖ ‖ --> = ∑ ∑ --> n s n 2 {\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2}}}} , причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится ∑ ∑ --> n s n {\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}} , то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением ‖ ‖ --> T ‖ ‖ --> = ∑ ∑ --> n s n {\displaystyle \|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}} .
Lokasi Pengunjung: 3.137.210.158