Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.
Линейная алгебра
Преобразование
φ φ -->
∗ ∗ -->
{\displaystyle \varphi ^{*}}
называется сопряжённым линейному преобразованию
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
, если для любых векторов
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
выполнено равенство
(
φ φ -->
(
x
)
,
y
)
=
(
x
,
φ φ -->
∗ ∗ -->
(
y
)
)
{\displaystyle \left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)}
. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой
A
∗ ∗ -->
=
Γ Γ -->
− − -->
1
A
T
Γ Γ -->
{\displaystyle A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }
, если пространство евклидово , и формулой
A
∗ ∗ -->
=
Γ Γ -->
− − -->
1
A
T
Γ Γ -->
¯ ¯ -->
{\displaystyle A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}}
в унитарном пространстве .
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный , эти формулы принимают вид
A
∗ ∗ -->
=
A
T
{\displaystyle A^{*}=A^{T}}
и
A
∗ ∗ -->
=
A
¯ ¯ -->
T
{\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}
соответственно.
Общее линейное пространство
Пусть
E
,
L
{\displaystyle E,\,L}
— линейные пространства , а
E
∗ ∗ -->
,
L
∗ ∗ -->
{\displaystyle E^{*},\,L^{*}}
— сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов , определённых на
E
,
L
{\displaystyle E,\,L}
). Тогда для любого линейного оператора
A
: : -->
E
→ → -->
L
{\displaystyle A\colon E\to L}
и любого линейного функционала
g
∈ ∈ -->
L
∗ ∗ -->
{\displaystyle g\in L^{*}}
определён линейный функционал
f
∈ ∈ -->
E
∗ ∗ -->
{\displaystyle f\in E^{*}}
— суперпозиция
g
{\displaystyle g}
и
A
{\displaystyle A}
:
f
(
x
)
=
g
(
A
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=g(A(x))}
. Отображение
g
↦ ↦ -->
f
{\displaystyle g\mapsto f}
называется сопряжённым линейным оператором и обозначается
A
∗ ∗ -->
: : -->
L
∗ ∗ -->
→ → -->
E
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}}
.
Если кратко, то
(
A
∗ ∗ -->
g
,
x
)
=
(
g
,
A
x
)
{\displaystyle (A^{*}g,x)=(g,Ax)}
, где
(
B
,
x
)
{\displaystyle (B,x)}
— действие функционала
B
{\displaystyle B}
на вектор
x
{\displaystyle x}
.
Топологическое линейное пространство
Пусть
E
,
L
{\displaystyle E,\,L}
— топологические линейные пространства , а
E
∗ ∗ -->
,
L
∗ ∗ -->
{\displaystyle E^{*},\,L^{*}}
— сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов , определённых на
E
,
L
{\displaystyle E,\,L}
). Для любого непрерывного линейного оператора
A
: : -->
E
→ → -->
L
{\displaystyle A\colon E\to L}
и любого непрерывного линейного функционала
g
∈ ∈ -->
L
∗ ∗ -->
{\displaystyle g\in L^{*}}
определён непрерывный линейный функционал
f
∈ ∈ -->
E
∗ ∗ -->
{\displaystyle f\in E^{*}}
— суперпозиция
g
{\displaystyle g}
и
A
{\displaystyle A}
:
f
(
x
)
=
g
(
A
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=g(A(x))}
. Нетрудно проверить, что отображение
g
↦ ↦ -->
f
{\displaystyle g\mapsto f}
линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также
A
∗ ∗ -->
: : -->
L
∗ ∗ -->
→ → -->
E
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}}
.
Банахово пространство
Пусть
A
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle A\colon X\to Y}
— непрерывный линейный оператор , действующий из банахова пространства
X
{\displaystyle X}
в банахово пространство
Y
{\displaystyle Y}
[ 1] и пусть
X
∗ ∗ -->
,
Y
∗ ∗ -->
{\displaystyle X^{*},Y^{*}}
— сопряжённые пространства . Обозначим
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
,
f
∈ ∈ -->
Y
∗ ∗ -->
[
A
x
,
f
]
=
f
(
A
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)}
. Если
f
{\displaystyle f}
— фиксировано, то
[
A
x
,
f
]
{\displaystyle [Ax,f]}
— линейный непрерывный функционал в
X
,
[
A
x
,
f
]
∈ ∈ -->
X
∗ ∗ -->
{\displaystyle X,[Ax,f]\in X^{*}}
. Таким образом, для
∀ ∀ -->
f
∈ ∈ -->
Y
∗ ∗ -->
{\displaystyle \forall f\in Y^{*}}
определён линейный непрерывный функционал из
X
∗ ∗ -->
{\displaystyle X^{*}}
, поэтому определён оператор
A
∗ ∗ -->
: : -->
Y
∗ ∗ -->
→ → -->
X
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}}
, такой что
[
A
x
,
f
]
=
[
x
,
A
∗ ∗ -->
f
]
{\displaystyle [Ax,f]=[x,A^{*}f]}
.
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}}
называется сопряжённым оператором .
Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.
Для
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}}
справедливы следующие свойства:
Оператор
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}}
— линейный.
Если
A
{\displaystyle A}
— линейный непрерывный оператор , то
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle A^{*}}
также линейный непрерывный оператор.
Пусть
O
{\displaystyle O}
— нулевой оператор , а
E
{\displaystyle E}
— единичный оператор . Тогда
O
∗ ∗ -->
=
O
,
E
∗ ∗ -->
=
E
{\displaystyle O^{*}=O,E^{*}=E}
.
(
A
+
B
)
∗ ∗ -->
=
A
∗ ∗ -->
+
B
∗ ∗ -->
{\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}
.
∀ ∀ -->
α α -->
∈ ∈ -->
C
,
(
α α -->
A
)
∗ ∗ -->
=
α α -->
¯ ¯ -->
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}}
.
(
A
B
)
∗ ∗ -->
=
B
∗ ∗ -->
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}
.
(
A
− − -->
1
)
∗ ∗ -->
=
(
A
∗ ∗ -->
)
− − -->
1
{\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}
.
Гильбертово пространство
В гильбертовом пространстве
H
{\displaystyle H}
теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора
A
: : -->
H
→ → -->
H
{\displaystyle A\colon H\to H}
равенство
(
A
x
,
y
)
=
(
x
,
A
∗ ∗ -->
y
)
{\displaystyle (Ax,y)=(x,A^{*}y)}
определяет сопряжённый оператор
A
∗ ∗ -->
: : -->
H
→ → -->
H
{\displaystyle A^{*}\colon H\to H}
. Здесь
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
— скалярное произведение в пространстве
H
{\displaystyle H}
.
См. также
Примечания
↑ Пространства
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
предполагаются комплексными
Литература
Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М. : Мир, 1971.
Ворович И.И. , Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М. : Вузовская книга, 2000 . — 320 с.
Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.
Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн . — 2-е, переработанное и дополненное. — М. : Наука , 1972 . — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз , 1963 . — 264 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука , 1970 . — 352 с.
Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.