Ба́зис (др.-греч. βάσις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве или модуле, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.
В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:
В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.
У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βάσις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.
Любой декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).
Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.
Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.
В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).
Обозначение векторов базиса может быть, в принципе, произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:
или
— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),
— трёхмерного пространства. Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение
Представление какого-то конкретного (любого) вектора a → → --> {\displaystyle {\vec {a}}} пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например
или, употребляя знак суммы Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } :
называется разложением этого вектора по этому базису.
Числовые коэффициенты ( a x , a y , a z ) {\displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})} называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора a → → --> {\displaystyle {\vec {a}}} в базисе e → → --> x , e → → --> y , e → → --> z . {\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}.} (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).
Базис Га́меля — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.
Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.
В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.
В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):
Лемма. Пусть S 1 {\displaystyle S_{1}} — полная, а S 2 {\displaystyle S_{2}} — линейно независимая система векторов. Тогда система S 1 {\displaystyle S_{1}} содержит набор векторов, дополняющий S 2 {\displaystyle S_{2}} до базиса пространства V {\displaystyle V} .
Доказательство строится на применении леммы Цорна. Рассмотрим S = S 1 ∪ ∪ --> S 2 {\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}} . Пусть L {\displaystyle L} — множество всех линейно независимых подмножеств S {\displaystyle S} . Это множество частично упорядочено по отношению включения.
Докажем, что объединение любой цепи линейно независимых множеств остаётся линейно независимым. Действительно, возьмём вектора a 1 , … … --> , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} из объединения и возьмём множества из цепи, которым эти вектора принадлежат: a 1 ∈ ∈ --> A 1 , … … --> , a n ∈ ∈ --> A n {\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}} . Так как эти множества — элементы цепи, их объединение даст максимальное из них, которое линейно независимо, а значит и вектора a 1 , … … --> , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} , лежащие в этом множестве, также линейно независимы.
Объединение множеств цепи линейно независимо, а значит, содержится в множестве L {\displaystyle L} . Применим к нему усиленную формулировку леммы Цорна, которая утверждает, что для каждого элемента из L {\displaystyle L} есть максимальный элемент больший или равный ему. S 2 ∈ ∈ --> L {\displaystyle S_{2}\in L} , а значит, есть такой максимальный элемент B ∈ ∈ --> L {\displaystyle B\in L} , что S 2 ⊂ ⊂ --> B {\displaystyle S_{2}\subset B} . Легко видеть, что B {\displaystyle B} есть базис. Действительно, не будь B {\displaystyle B} полной системой векторов, был бы вектор a ∈ ∈ --> S 1 {\displaystyle a\in S_{1}} , непредставимый как линейная комбинация векторов из B {\displaystyle B} . Тогда B ∪ ∪ --> { a } {\displaystyle B\cup \{a\}} — линейно независимая система, а значит, B ∪ ∪ --> { a } ∈ ∈ --> L {\displaystyle B\cup \{a\}\in L} , что противоречит тому, что B {\displaystyle B} —— максимальный элемент L {\displaystyle L} .
Следствием этой леммы являются утверждения:
Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается dim --> V {\displaystyle \dim V} ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.
Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.
Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.
Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} . Пусть { r α α --> } {\displaystyle \{r_{\alpha }\}} — базис Гамеля множества действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } над полем рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Тогда для каждого x = k α α --> 1 r α α --> 1 + ⋯ ⋯ --> + k α α --> n r α α --> n {\displaystyle x=k_{\alpha _{1}}r_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}r_{\alpha _{n}}} ( k i ∈ ∈ --> Q {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Q} } ) положим f ( x ) = k α α --> 1 f α α --> 1 + ⋯ ⋯ --> + k α α --> n f α α --> n {\displaystyle f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}} , где f α α --> n = f ( r α α --> n ) {\displaystyle f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})} произвольные вещественные числа, не все равные нулю одновременно; например, рациональные (в этом случае функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} принимает лишь рациональные значения и тем самым гарантированно не является линейной функцией f ( x ) = ( c ⋅ ⋅ --> x ) {\displaystyle f(x)=(c\cdot x)} ). Такая функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} аддитивна, то есть удовлетворяет функциональному уравнению Коши f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} . Однако в общем случае, когда f α α --> n ≠ ≠ --> c ⋅ ⋅ --> r α α --> n {\displaystyle f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}} , она отличается от линейной функции f ( x ) = c ⋅ ⋅ --> x {\displaystyle f(x)=c\cdot x} и в силу этого является разрывной в любой точке, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя своими значениями на этом интервале всюдо плотно числовую ось ( − − --> ∞ ∞ --> , + ∞ ∞ --> ) {\displaystyle \left(-\infty ,+\infty \right)} .
Система векторов { e n } {\displaystyle \{e_{n}\}} топологического векторного пространства L {\displaystyle L} называется базисом Шаудера (в честь Шаудера), если каждый элемент f ∈ ∈ --> L {\displaystyle f\in L} разлагается в единственный, сходящийся к f {\displaystyle f} ряд по { e n } {\displaystyle \{e_{n}\}} :
где f i {\displaystyle f_{i}} — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f {\displaystyle f} по базису { e n } {\displaystyle \{e_{n}\}} .
Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.
Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций { 1 , 1 2 sin --> ( 2 π π --> n x ) , 1 2 cos --> ( 2 π π --> n x ) ∣ ∣ --> n = 1 , 2 , … … --> } {\displaystyle \{1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots \}} является базисом Шаудера в пространстве L 2 [ 0 , 1 ] {\displaystyle L^{2}[0,1]} . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.
C [ a , b ] {\displaystyle C[a,b]} — банахово пространство с нормой ‖ ‖ --> f ‖ ‖ --> = max x ∈ ∈ --> [ a , b ] | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|} . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в гильбертовом пространстве L 2 [ a , b ] {\displaystyle L^{2}[a,b]} , но не в C [ a , b ] {\displaystyle C[a,b]} . Шаудер сконструировал базис Шаудера { e n } {\displaystyle \{e_{n}\}} для C [ a , b ] {\displaystyle C[a,b]} . Пусть { x 0 , x 1 , … … --> , x n , … … --> } {\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}} — плотное счетное множество точек на [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , x 0 = a {\displaystyle x_{0}=a} , x 1 = b {\displaystyle x_{1}=b} , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , упорядоченными произвольным образом. Положим: e 0 = 1 {\displaystyle e_{0}=1} , e 1 = ( x − − --> a ) / ( b − − --> a ) {\displaystyle e_{1}=(x-a)/(b-a)} — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию e n ( x ) {\displaystyle e_{n}(x)} так, чтобы e n ( x i ) = 0 {\displaystyle e_{n}(x_{i})=0} при i = 0 , 1 , … … --> , n − − --> 1 {\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1} и e n ( x n ) = 1 {\displaystyle e_{n}(x_{n})=1} . Точки x 0 , x 1 , x 2 , … … --> , x n − − --> 1 {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}} разбивают [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} на n − − --> 1 {\displaystyle n-1} отрезок. Точка x n {\displaystyle x_{n}} лежит строго внутри одного из них. Пусть это I n = [ x j , x k ] {\displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}]} для каких-то j , k ∈ ∈ --> { 0 , … … --> , n − − --> 1 } {\displaystyle j,k\in \{0,\dots ,n-1\}} (порядок нумерации чисел x 0 , x 1 , x 2 , … … --> {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots } не соответствует их величине).
Положим:
Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции f ( x ) ∈ ∈ --> C [ a , b ] {\displaystyle f(x)\in C[a,b]} по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений f ( x i ) {\displaystyle f(x_{i})} . Частичная сумма первых n + 1 {\displaystyle n+1} членов ряда
является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f ( x ) {\displaystyle f(x)} с узлами в точках x 0 , x 1 , x 2 , … … --> , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} ; формула для коэффициентов f n = f ( x n ) − − --> L n − − --> 1 ( x n ) ; f 0 = f ( a ) {\displaystyle f_{n}=f(x_{n})-L_{n-1}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)} (см. Рис.)
Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло[1], Шанковского, Дэви и Фигеля).
В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами[2]:212-214. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.
Lokasi Pengunjung: 3.145.186.178