Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.
Размерность Крулля позволяет сформулировать чисто алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного алгебраического многообразия, заданного идеалом I {\displaystyle I} в кольце многочленов R {\displaystyle R} — это размерность Крулля факторкольца R / I {\displaystyle R/I} .
Длина цепочки простых идеалов вида:
принимается за n {\displaystyle n} , то есть считается число строгих включений, а не число идеалов. Размерность Крулля кольца R {\displaystyle R} — это максимум длины по множеству всех цепочек простых идеалов R {\displaystyle R} .
Для простого идеала p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} можно определить его коразмерность (также называют высотой или рангом), обозначаемую codim --> ( p ) {\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}})} , как максимальную длину цепочки простых идеалов вида p 0 ⊊ ⊊ --> p 1 ⊊ ⊊ --> … … --> ⊊ ⊊ --> p n ⊆ ⊆ --> p {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}} .
Если R — коммутативное кольцо и M — R-модуль, размерность Крулля M определяется как размерность Крулля факторкольца по аннулятору модуля:
где AnnR(M) — это ядро естественного отображения R → EndR(M) (сопоставляющего элементу кольца умножение на этот элемент).
Высота простого идеала p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} коммутативного кольца R {\displaystyle R} — это супремум длин цепочек[⇨] простых идеалов, содержащихся в p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} . Например, высота простого идеала, не содержащего других простых идеалов, равна 0. Размерность Крулля кольца R {\displaystyle R} можно определить как супремум высоты по множеству простых идеалов.
В случае нётерова коммутативного кольца, согласно теореме Крулля, высота идеала, порождённого n элементами, не превосходит n.
Определение высоты можно распространить на произвольные идеалы, определив высоту идеала как минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал.
Lokasi Pengunjung: 13.59.189.240