Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Норма в векторном пространстве V {\displaystyle V\ } над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал p : : --> V → → --> R + {\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R_{+}} } , обладающий следующими свойствами:
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.
Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:
∀ ∀ --> x ∈ ∈ --> V , p ( x ) ⩾ ⩾ --> 0 {\displaystyle \forall x\in V,p(x)\geqslant 0} .
Действительно, из третьего свойства следует: p ( 0 V ) = p ( 0 ⋅ ⋅ --> 0 V ) = 0 ⋅ ⋅ --> p ( 0 V ) = 0 {\displaystyle p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0} , а из свойства 2 — ∀ ∀ --> x ∈ ∈ --> V : : --> 0 = p ( 0 V ) = p ( x − − --> x ) ⩽ ⩽ --> p ( x ) + p ( − − --> x ) = 2 p ( x ) {\displaystyle \forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)} .
Чаще всего норму обозначают в виде: ‖ ‖ --> ⋅ ⋅ --> ‖ ‖ --> {\displaystyle \|\cdot \|} . В частности, ‖ ‖ --> x ‖ ‖ --> {\displaystyle \|x\|} — это норма элемента x {\displaystyle x} векторного пространства R {\displaystyle \mathbb {R} } .
Вектор с единичной нормой ( ‖ ‖ --> x ‖ ‖ --> = 1 ) {\displaystyle \left(\|x\|=1\right)} называется единичным или нормированным.
Любой ненулевой вектор x {\displaystyle x} можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор x ‖ ‖ --> x ‖ ‖ --> {\displaystyle {\frac {x}{\|x\|}}} имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.
Нормой матрицы A {\displaystyle A} называется вещественное число ‖ ‖ --> A ‖ ‖ --> {\displaystyle \|A\|} , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.
Матричная норма ‖ ‖ --> ⋅ ⋅ --> ‖ ‖ --> a b {\displaystyle \|\cdot \|_{ab}} из K m × × --> n {\displaystyle K^{m\times n}} называется согласованной с векторной нормой ‖ ‖ --> ⋅ ⋅ --> ‖ ‖ --> a {\displaystyle \|\cdot \|_{a}} из K n {\displaystyle K^{n}} и векторной нормой ‖ ‖ --> ⋅ ⋅ --> ‖ ‖ --> b {\displaystyle \|\cdot \|_{b}} из K m {\displaystyle K^{m}} если справедливо:
для всех A ∈ ∈ --> K m × × --> n , x ∈ ∈ --> K n {\displaystyle A\in K^{m\times n},x\in K^{n}} .
Норма оператора A {\displaystyle A} — число, которое определяется так:
Это определение эквивалентно следующему:
В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.
где p ⩾ ⩾ --> 1 {\displaystyle p\geqslant 1} (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:
Особым случаем является ℓ ℓ --> 0 {\displaystyle \ell _{0}} (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей ℓ ℓ --> 0 {\displaystyle \ell _{0}} -нормой. С помощью этой «нормы» может быть определённо расстояние Хэмминга.
Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B ( x , r ) = { y : : --> ‖ ‖ --> x − − --> y ‖ ‖ --> < r } {\displaystyle B(x,r)=\{y\colon \|x-y\|<r\}} . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
يوجين نايدا معلومات شخصية الميلاد 11 نوفمبر 1914(1914-11-11)أوكلاهوما سيتي، أوكلاهوما الوفاة 25 أغسطس 2011 (96 سنة)مدريد[1] مواطنة الولايات المتحدة الحياة العملية المدرسة الأم جامعة ميشيغان المهنة عالم عقيدة، ومترجم، وكاتب، ولغوي، ومترجم الكتاب المقدس [لغ
هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. ديوي لانجار (بالإنجليزية: Dewi Lanjar)، هي إلهة البحر الإندونيسية، على عكس نياي رورو كيدول وملكة البحر الشمالي، وفقًا للمعتقدات الجاوية. هي إلهة مشهورة في مدينة بيكالونغان بجاوا ا…
Cet article est une ébauche concernant un athlète péruvien. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Paolo YurivilcaBiographieNaissance 23 avril 1996 (27 ans)HuancayoNationalité péruvienneActivité AthlèteAutres informationsTaille 1,69 mPoids 62 kgSport Athlétismemodifier - modifier le code - modifier Wikidata Paolo Cesar Yurivilca Calderón (né le 23 avril 1996 à Huancayo) est un athlète péru…
The Restaurant Group plcTypePublicTraded asLSE: RTNIndustryRestaurantFounded1987HeadquartersLondon, EnglandKey peopleKen Hanna (Chairman) Andy Hornby (CEO) Kirk Davis (CFO)Revenue £459.8 million (2020)[1]Operating income £(49.7) million (2020)[1]Net income £(119.9) million (2020)[1]Number of employees14,000 (2021)[2]Websitewww.trgplc.com The Restaurant Group plc is a British chain of restaurants and public houses. It is listed on the London Stock Exchange.…
South Korean actress For the South Korean handball player, see Kim Hyang-gi (handballer). In this Korean name, the family name is Kim. Kim Hyang-giKim in 2022Born (2000-08-09) August 9, 2000 (age 23)Yongin, Gyeonggi-do, South KoreaEducationHanyang University[1]OccupationActressYears active2003–presentAgentCree Company[2]Korean nameHangul김향기Hanja金香起Revised RomanizationGim Hyang-giMcCune–ReischauerKim Hyangki Kim Hyang-gi (born August 9, 2000) is a South K…
English political organizer and activist (1870–1943) Ida Chamberlainin 1929 (photographer unknown)BornFlorence Ida Chamberlain22 May 1870Edgbaston, Warwickshire, ENglandDied1 April 1943 (1943-05) (aged 72)OdihamEducationAllenswood Boarding AcademyOccupation(s)political organiser and activistKnown forfirst woman alderman in HampshireParent(s)Florence (born Kenrick) and Joseph Chamberlain Florence Ida Chamberlain (22 May 1870 – 1 April 1943) was a British political organiser and…
Ajwa TVDiluncurkan29 Oktober 2020; 3 tahun lalu (2020-10-29)JaringanMatrix TV (2020-2021)Nex Parabola (2020-sekarang)PemilikSurya Citra Media (via IEG)SloganCermin Indahnya Islam'NegaraIndonesiaBahasaBahasa IndonesiaKantor pusatSCTV Tower, Senayan City, Jl. Asia Afrika Lot 19, Tanah Abang, Jakarta PusatSaluran seindukSCTV (2020-sekarang)Indosiar (2020-sekarang)Moji (2020-sekarang)Champions TV (2020-sekarang)Mentari TV (2021-sekarang)Ketersediaan SatelitTelkom-4 (gratis)3900/V/29800Nex Parab…
Tennis tournament2019 Davis Cup FinalsDate18–24 November 2019Edition1stDraw18 teamsSurfaceHard indoorLocationMadrid, SpainVenueCaja MágicaChampionsSpain Davis Cup · 2021 → Main article: 2019 Davis Cup The Finals, formerly known as World Group, was the highest level of Davis Cup competition in 2019. It was held on indoor hard courts at the Caja Mágica in Madrid, Spain from 18 until 24 November.[1] The ties were contested in a best-of-three rubbers format and were play…
Marcelo Díaz Marcelo Díaz con el Cuarteto Zupay. Tapa del álbum Canciones que canta el viento (1976).Información personalNacimiento ca. 1948 (75 años)ArgentinaNacionalidad ArgentinaInformación profesionalOcupación CantanteAños activo 1971-en adelanteGéneros Música popular argentina, música folklórica de ArgentinaInstrumento Voz Tipo de voz TenorArtistas relacionados Cuarteto Zupay[editar datos en Wikidata] Marcelo Díaz (n. ca. 1948), es un músico y cantante argentino…
جائزة دينين الكبرى 2021 تفاصيل السباقسلسلة62. جائزة دينين الكبرىمنافسةسلسلة سباقات الاتحاد الدولي للدراجات للمحترفين 2021 1.Proالتاريخ21 سبتمبر 2021المسافات200٫9 كمالبلد فرنسانقطة البدايةدينيننقطة النهايةدينينالفرق19متوسط السرعة42٫937 كم/سالمنصةالفائز جاسبر فيليبسين (Alpecin-Fenix)ال…
Politics of Malta Republic Constitution President (list) George Vella Government Prime Minister (list) Robert Abela Deputy Prime Minister (list) Chris Fearne Cabinet (current) Parliament Speaker (list) Angelo Farrugia Deputy Speaker (list) David Agius Leader of the House (list) Chris Fearne Leader of the Opposition (list) Bernard Grech Judiciary Chief Justice (list) Mark Chetcuti Law Courts and Tribunals Commission for theAdministration of Justice Political parties Labour Party Nationalist Party…
Państwowa Komisja Badania Wypadków Lotniczych Logo PKBWL Siedziba PKBWL znajduje się w Centrum Bankowo-Finansowym w Warszawie Państwo Polska Data utworzenia 2002 Przewodniczący Krzysztof Miłkowski Zastępcy Przewodniczącego Sekretarz Andrzej Bartosiewicz[1] Patrycja Pacak Bartłomiej Czerkowski[2] Budżet Brak danych Zatrudnienie 16 (2023)[3] Adres ul. Nowy Świat 6/12 00-497 Warszawa Położenie na mapie WarszawyPaństwowa Komisja Badania Wypadków Lotniczych Położenie na mapie P…
English Hakka-Dictionary (英客字典) PengarangFr. MarsecanoNegaraTaiwanBahasaBahasa Inggris, bahasa HakkaDiterbitkan1958PenerbitKuangchi PressHalaman635 English Hakka-Dictionary adalah kamus Inggris - Hakka yang dikompilasikan oleh Fr. Marsecano, tokoh agama Katolik asal Italia yang mengabdi di Taiwan dari tahun 1955-2000.[1] National Taichung University of Science and Technology telah memindai kamus ini dan memungkinkannya diakses secara terbuka di internet. Penamaan dalam bahasa Tio…
Agence des missionnaires de l'église presbytérienneHistoireFondation 1843CadreZone d'activité KiautschouType Société missionnairePays États-UnisOrganisationSite web (en) www.presbyterianmission.orgmodifier - modifier le code - modifier Wikidata L'Agence missionnaire presbytérienne est l'organisme missionnaire de l'Église presbytérienne (USA). Fondée en 1831 sous le nom de Western Foreign Missionary Society par l'Église presbytérienne aux États-Unis d'Amérique, elle a…
American businessman and politician (born 1955) David TroneMember of the U.S. House of Representativesfrom Maryland's 6th districtIncumbentAssumed office January 3, 2019Preceded byJohn Delaney Personal detailsBornDavid John Trone (1955-09-21) September 21, 1955 (age 68)Cheverly, Maryland, U.S.Political partyDemocraticSpouse June Trone (m. 1987)Children4EducationFurman University (BA)University of Pennsylvania (MBA)SignatureWebsiteHouse website …
List of rivers in Arkansas (U.S. state). For a list of dams and reservoirs in Arkansas, see List of Arkansas dams and reservoirs Rivers are listed by drainage basin, by size, and alphabetically. By drainage basin This list is arranged by drainage basin, with respective tributaries indented under each larger stream's name. Red River Red River Drainage Basin Ouachita Drainage Basin Mississippi River Red River Black River (LA) Tensas River (LA) Bayou Macon Ouachita River Boeuf River Bayou D'Arbonne…
25th Miss Polski pageant Miss Polski 2014Ewa Mielnicka, Miss Polski 2014DateDecember 7, 2014PresentersPaulina Sykut-JeżynaZygmunt ChajzerAgnieszka PopielewiczKrzysztof IbiszEntertainmentStanisław Karpiel-BułeckaFuture FolkMarek KaliszukTomasz SzczepaniakPiotr CugowskiVenueMunicipal Sports and Recreation Center (MOSIR), Krynica-ZdrójBroadcasterPolsatEntrants25Placements10WinnerEwa Mielnicka Masovia← 20132015 → Miss Polski 2014 was the 25th Miss Polski pageant, held on De…
Ilustrasi Fu Qian dari Dinasti Qing Fu Qian adalah anak dari jenderal Shu Fu Tong pada Zaman Tiga Negara. Ia memiliki kemampuan bertarung dan memimipin pasukan yang baik dan merupakan salah satu jenderal terkuat Shu pada tahun 250an; saat itu militer Shu dipimpin oleh Jiang Wei. Ia hanya pernah kalah dari Jiang Wei dan Xiahou Ba. Fu Qian direkrut oleh Jiang Wei dan bersama Jiang Shu ditugaskan melindungi Jia Meng Guan dari serangan Deng Ai. Saat terjadi serangan gabungan oleh Deng Ai dan Zhong H…
Argentine actress and singer (born 1991) Lali EspósitoEspósito in 2019BornMariana Espósito (1991-10-10) 10 October 1991 (age 32)Buenos Aires, ArgentinaOccupationsSingeractressdancermodelYears active2003–presentWorksDiscographysongsvideographyAwardsFull listMusical careerGenres Pop Latin pop dance[1] hip hop[2][3] dubstep[2] LabelsSony Argentina Musical artistWebsitelalioficial.com Mariana Lali Espósito (born 10 October 1991) is an Argentine singer,…
The Red Jumpsuit Apparatus discographyStudio albums5Music videos13EPs5Singles18 The discography of American rock band Red Jumpsuit Apparatus consists of five studio albums, five extended plays, eighteen singles, and thirteen music videos. Albums Studio albums List of studio albums, with selected chart positions and certifications Title Album details Peak chart positions Certifications US[1] USAlt.[2] USRock[3] AUS[4] CAN[5] JPN[6] NZ[7] Don…
Lokasi Pengunjung: 3.145.191.244