Векторное исчисление, как и любое другое исчисление, использует определённые операции над векторами, такие, как сложение, умножение, дифференцирование. Операции определены так, чтобы их легко можно было интерпретировать в математике, механике и физике[6].
Поэтому, с одной стороны, использование векторного исчисления при изучении соответствующих явлений упрощает исследование, а с другой стороны, исследование получается более наглядным и естественным без дополнительного введения посторонних элементов, таких как координаты[6].
В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторное исчисление подразделяется на[1][2][3][7][5]:
Векторное исчисление появилось в результате востребованности механикой и физикой[12][2][13][1][5]. До XIX века вектор задавали только с помощью координат, операции над векторами были вычислениями координат. Только в середине XIX века было создано векторное исчисление, которое позволило оперировать непосредственно векторами, без привлечения каких-либо координат[2][1][14].
Основы векторного исчисления заложены в середине XIX века двумя учёными[12][14]:
Эти два математика независимо друг от друга различными способами открыли векторные операции. Но в то время еще не было физических теорий, существенно использующих векторное исчисление[12].
Русские учёные существенно развили векторное исчисление. Признанный лидер математиков Российской империи в 1830—1860-е годы Остроградский доказал основную теорему векторного исчисления. Русский и советский математик и механик Котельников, развивая своё винтовое исчисление, внес важный вклад в механику и геометрию. Советские математики и механики Зейлигер и Широков продолжили эти исследования. Русский математик и механик Сомов написал книгу «Векторный анализ» (1907), оказавшую сильное влияние на развитие векторного исчисления[14].
Такое широкое использование векторного исчисления можно объяснить его свойствами[11]:
векторная терминология правильно отражает многие понятия и закономерности как геометрии, так и физики;
векторное исчисление обеспечивает единство аналитического и геометрического подходов, в итоге векторные формулы и вычисления сжаты, наглядны и ясны;
векторные формулы, отражающие физические закономерности, не зависят от выбора координат, другими словами, инвариантны, а также отражают суть явлений в "чистом виде".
В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[15]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[16]
Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[17].
Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[18]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:
Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре . Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[20].
Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[21], в теории обработки сигналов[22], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[23], алгебраической геометрии[24] и т. д.
↑Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
↑Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
↑Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
↑Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
↑Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385
Источники
Векторное исчисление // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 30.