Формула Остроградского — Гаусса

Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от взятому по объему , ограниченному поверхностью [1]

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

- проекции вектора
Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:
1) в бездивергентном поле () поток вектора через любую замкнутую поверхность , являющуюся полной границей некоторого тела , равен нулю.
2) если внутри замкнутой поверхности имеется источник или сток, то поток вектора через эту поверхность, убывающий с расстоянием как , не зависит от её формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

где и  — дифференциалы объёма и поверхности соответственно.  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью[2].

Современная запись формулы:

где , и . В современной записи  — элемент объёма,  — элемент поверхности[2].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762[3].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики[4].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[4]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации -кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

Примечания

  1. Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Теорема Остроградского // Математический словарь высшей школы. — Издательство МПИ. — С. 437.
  2. 1 2 Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.
  3. В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
  4. 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

Литература

  • Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

Read other articles:

Anatoly StesselAnatoly Stessel, tahun 1890anLahir(1848-06-28)28 Juni 1848Meninggal18 Januari 1915(1915-01-18) (umur 66)Khmilnik (sekarang bernama Oblast Vinnytsia , Kegubernuran Podolian, Ukraina, Kekaisaran RusiaPengabdian Kekaisaran RusiaDinas/cabangAngkatan Darat Kekaisaran RusiaLama dinas1866–1906PangkatJenderalPerang/pertempuranPerang Rusia-Turki (1877–1878)Pemberontakan Boxer (WIA)Perang Rusia-Jepang Pengepungan Port Arthur  Nogi Maresuke (tengah, kedua dari...

 

Dalam nama yang mengikuti kebiasaan penamaan Slavia Timur ini, patronimiknya adalah Stanislavovna dan nama keluarganya adalah Sanko. Alina SankoLahirAlina Stanislavovna Sanko31 Desember 1998 (umur 25)Azov, RusiaNama lainAlina SankoPendidikanUniversitas Negeri MoskowPekerjaanModelRatu kecantikanTinggi174 cm (5 ft 9 in)Pemenang kontes kecantikanGelar Miss Russia 2019 Miss World Russia 2019 Miss Universe Russia 2020 Warna rambutCokelatWarna mataCokelatKompetisiutama ...

 

Aspect of viral outbreak Part of a series on theCOVID-19 pandemicScientifically accurate atomic model of the external structure of SARS-CoV-2. Each ball is an atom. COVID-19 (disease) SARS-CoV-2 (virus) Cases Deaths Timeline 2019 2020 January responses February responses March responses April responses May responses June responses July responses August responses September responses October responses November responses December responses 2021 January responses February responses March response...

Maltese Catholic cardinal (born 1957) His EminenceMario GrechSecretary General of the Synod of BishopsGrech as a cardinalChurchRoman Catholic ChurchAppointed15 September 2020PredecessorLorenzo BaldisseriOther post(s)Cardinal-Deacon of Santi Cosma e Damiano (2020–present)OrdersOrdination22 May 1984by Nikol Joseph CauchiConsecration22 January 2006by Nikol Joseph CauchiCreated cardinal28 November 2020by FrancisRankCardinal deaconPersonal detailsBornMario Grech (1957-02-20) 20 Februar...

 

1-700 CE language variety or dialect Old Hejazi ArabicQurayshi ArabicBirmingham Quran manuscriptRegionHejaz (Saudi Arabia)Era1st century to 7th centuryLanguage familyAfroasiatic SemiticWest SemiticCentral SemiticNorth Arabian?ArabicOld ArabicOld Hejazi ArabicWriting systemDadanitic, Arabic, GreekLanguage codesISO 639-3None (mis)GlottologNone Old Hejazi, is a variety of Old Arabic attested in Hejaz (the western part of Saudi Arabia) from about the 1st century to the 7th century. It is the vari...

 

Emilio Bonifazi Sindaco di GrossetoDurata mandato31 maggio 2006 –23 giugno 2016 PredecessoreAlessandro Antichi SuccessoreAntonfrancesco Vivarelli Colonna Presidente della Provincia di GrossetoDurata mandato13 ottobre 2014 –19 luglio 2016[1] PredecessoreLeonardo Marras SuccessoreAntonfrancesco Vivarelli Colonna Sindaco di FollonicaDurata mandato8 maggio 1995 –17 giugno 2004 PredecessoreEnrico Norcini SuccessoreClaudio Saragosa Dati genera...

本條目存在以下問題,請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2022年12月23日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 此條目需要补充更多来源。 (2022年...

 

American screenwriter and film director (born 1959) Richard LaGraveneseLaGravenese in September 2017Born (1959-10-30) October 30, 1959 (age 64)New York City, U.S.Occupations Screenwriter film director Years active1989–presentSpouseAnn WeissChildren1 Richard LaGravenese (/ləˈɡrɑːvəneɪz/;[1] born October 30, 1959)[2][3] is an American screenwriter and film director, known for The Fisher King, The Bridges of Madison County, and Behind the Candelabra. Pe...

 

Railway station in Chichibu, Saitama Prefecture, Japan Urayamaguchi Station浦山口駅Urayamaguchi Station in September 2018General informationLocation3895 Arakawakuna, Chichibu-shi, Saitama-ken 369-1801JapanCoordinates35°57′50.52″N 139°3′30.68″E / 35.9640333°N 139.0585222°E / 35.9640333; 139.0585222Operated by Chichibu RailwayLine(s)■ Chichibu Main LineDistance63.8 km from HanyūPlatforms1 side platformOther informationStatusStaffedWebsiteOfficial ...

Epic crime film City of GodBrazilian theatrical release posterBrazilian PortugueseCidade de Deus Directed by Fernando Meirelles Kátia Lund Screenplay byBráulio MantovaniBased onCity of Godby Paulo LinsProduced by Andrea Barata Ribeiro Maurício Andrade Ramos Starring Alexandre Rodrigues Leandro Firmino Da Hora Jonathan Haagensen Phellipe Haagensen Douglas Silva Daniel Zettel Seu Jorge CinematographyCésar CharloneEdited byDaniel RezendeMusic by Antônio Pinto Ed Cortês Productioncompanies ...

 

This article needs to be updated. Please help update this article to reflect recent events or newly available information. (July 2017) United States historic placeYounker Brothers Department StoreU.S. National Register of Historic Places Show map of IowaShow map of the United StatesLocation713 Walnut St.Des Moines, IowaCoordinates41°35′9″N 93°37′36″W / 41.58583°N 93.62667°W / 41.58583; -93.62667Arealess than one acreArchitectLiebbe, Nourse & RasmussenAr...

 

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: SMA Negeri 1 Jonggol – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR SMA Negeri 1 JonggolSmoerayInformasiDidirikan16 Januari 1978 (SMPP Timur Bogor atau Filial)8 Oktober 1982 (De Jure, SMA Negeri 1 Jonggo...

 

Municipality in Nakhchivan, AzerbaijanTumaslıMunicipalityTumaslıCoordinates: 39°28′00″N 45°00′29″E / 39.46667°N 45.00806°E / 39.46667; 45.00806Country AzerbaijanAutonomous republicNakhchivanDistrictSharurPopulation (2005)[citation needed] • Total605Time zoneUTC+4 (AZT) Tumaslı (also, Tumasly and Tumaslu) is a village and municipality in the Sharur District of Nakhchivan, Azerbaijan. It is located 12 km in the south from...

 

Metropolitan area in Japan PlaceGreater Tokyo AreaGreater Tokyo area around Tokyo Bay at night (2021)Coordinates: 35°41′23″N 139°41′30″E / 35.68972°N 139.69167°E / 35.68972; 139.69167Major CitiesTokyo Metropolis (includes 23 special wards)YokohamaKawasakiSaitama KawaguchiChibaSagamiharaArea • City32,424 km2 (12,519 sq mi) • Urban8,547 km2 (3,300 sq mi) • Metro13,452 km2 (5,194 sq...

本文或本章節是關於未來的公共运输建設或計划。未有可靠来源的臆測內容可能會被移除,現時內容可能與竣工情況有所出入。 此条目讲述中国大陆處於施工或详细规划阶段的工程。设计阶段的資訊,或許与竣工后情況有所出入。无可靠来源供查证的猜测会被移除。 设想中的三条路线方案[1]。 臺灣海峽隧道或臺湾海峡橋隧(英語:Taiwan Strait Tunnel Project)是一项工程�...

 

Continental soldiers at Yorktown; on the left, an African-American soldier of the 1st Rhode Island Regiment. Part of a series onAfrican Americans History Periods Timeline Atlantic slave trade Abolitionism in the United States Slavery in the colonial history of the US Revolutionary War Antebellum period Slavery and military history during the Civil War Reconstruction era Politicians Juneteenth Civil rights movement (1865–1896) Jim Crow era (1896–1954) Civil rights movement (1954–1968) B...

 

United States historic placeBridge in Albany TownshipU.S. National Register of Historic Places Bridge in Albany Township, October 2009Show map of PennsylvaniaShow map of the United StatesLocationLegislative Route 06173 over Maiden Creek, Albany Township, PennsylvaniaCoordinates40°38′7″N 75°51′21″W / 40.63528°N 75.85583°W / 40.63528; -75.85583Arealess than one acreBuilt1841Architectural styleMultiple span stone archMPSHighway Bridges Owned by the Common...

سفارة دولة فلسطين لدى موزمبيق فلسطين موزمبيق الإحداثيات 25°57′43″S 32°36′04″E / 25.9619°S 32.6011°E / -25.9619; 32.6011   البلد موزمبيق  المكان مابوتو الاختصاص موزمبيق  السَفير فايز عبد الجواد تعديل مصدري - تعديل   سفارة دولة فلسطين لدى موزمبيق هي الممثلية الدبلوماسية ا�...

 

  هذه المقالة عن مملكة نوميديا. لمعانٍ أخرى، طالع نوميديا (توضيح). صورة تبين شجرة ملوك نوميديا كانت نوميديا مملكة أمازيغية قديمة تقع في منطقة شمال إفريقيا التي تضم اليوم الجزائر وأجزاء مما يعرف حاليًا بتونس وليبيا والمغرب. ازدهرت هذه المملكة من القرن الثالث إلى القرن ا...