Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, ${\displaystyle n}$-е треугольное число ${\displaystyle T_{n}}$ — это сумма ${\displaystyle n}$ первых натуральных чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=&\ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}}$

и т. д. Общая формула для ${\displaystyle n}$-го по порядку треугольного числа:

${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\dots }$;

Последовательность треугольных чисел ${\displaystyle T_{n}}$ бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер ${\displaystyle n=0.}$

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел➤, они тесно связаны с многими другими классами целых чисел➤.

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа^[1]:

${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+n}$.

Следствия (${\displaystyle n>1}$)^[2][3]:

${\displaystyle T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1}$.

${\displaystyle T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1}$.

${\displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n}}$ (см. рисунок слева).

${\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1}}$. (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции^[4]:

${\displaystyle T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn}$

${\displaystyle T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}}$

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой^[2] ${\displaystyle 2,4,7,9.}$ Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел^[5].

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул^[6]:

${\displaystyle S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6}}}$

или:

${\displaystyle S_{m}=1+3+6+\dots +{\frac {m(m+1)}{2}}={\frac {m(m+1)(m+2)}{6}}}$

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

${\displaystyle 1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty }\left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2}$

Натуральное число ${\displaystyle x}$ является треугольным тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle 8x+1}$ является полным квадратом.

В самом деле, если ${\displaystyle x}$ треугольное, то ${\displaystyle 8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.}$ Обратно, число ${\displaystyle 8x+1}$ нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа ${\displaystyle a,}$ то ${\displaystyle a}$ тоже нечётно: ${\displaystyle a=2n+1,}$ и мы получаем равенство: ${\displaystyle 8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,}$ откуда: ${\displaystyle x={\frac {n(n+1)}{2}}}$ — треугольное число ■.

Следствие: номер числа ${\displaystyle x}$ в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}$

Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент ${\displaystyle T_{n}=C_{n+1}^{2}}$ число ${\displaystyle T_{n}}$ определяет число сочетаний для выбора двух элементов из ${\displaystyle n+1}$ возможных.

Если ${\displaystyle n}$ объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

Это видно из того, что каждый из ${\displaystyle n}$ объектов соединяется с остальными ${\displaystyle n-1}$ объектами, так что получается ${\displaystyle n(n-1)}$ соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для ${\displaystyle n}$ человек или количество шахматных партий в турнире с ${\displaystyle n}$ участниками равны ${\displaystyle T_{n-1}.}$ Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с ${\displaystyle n}$ сторонами (n>3) равно:

${\displaystyle T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Максимальное количество ${\displaystyle p}$ кусков, которое можно получить с помощью ${\displaystyle n}$ прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно ${\displaystyle T_{n}+1}$ (см. Центральные многоугольные числа, последовательность A000124 в OEIS).

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным^[7]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел^[8]: ${\displaystyle 666=15^{2}+21^{2}.}$

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет^[9].

Любое ${\displaystyle k}$-угольное число ${\displaystyle P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)}$ может быть выражено через треугольные^[10]:

${\displaystyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{n}}$

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть^[7]:

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;}$ (формула Теона Смирнского^[11].

Примеры:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого ${\displaystyle k\geqslant 3}$ разность между ${\displaystyle (k+1)}$-угольным и ${\displaystyle k}$-угольным числами с одним и тем же номером есть треугольное число^[12]:

${\displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1}}$

Предыдущая формула получается при ${\displaystyle k=3.}$

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чисел^[13]:

${\displaystyle \{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.}$

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (последовательность A003098 в OEIS):

${\displaystyle 1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\dots }$

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)^[14][15]: ${\displaystyle 1,36,1225,41616,1413721\dots }$ (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

• пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

• шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
• семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших ${\displaystyle 10^{22166},}$ не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует^[16].

Четыре треугольных числа ${\displaystyle 1,3,15,4095}$ являются одновременно числами Мерсенна (последовательность A076046 в OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел ${\displaystyle 1,10,120,1540,7140}$ (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).

Четыре числа ${\displaystyle 1,55,91,208335}$ одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно^[17][18]:

• треугольным и кубическим;
• треугольным и биквадратным^[19];
• треугольным и пятой степенью целого числа^[17];

Каждое чётное совершенное число является треугольным^[20].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом^[21].

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов первых ${\displaystyle n}$ натуральных чисел (тождество Никомаха)^[22]. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, ${\displaystyle 15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.}$

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\dots +T_{n}x^{n}+\dots }$

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чисел^[23].

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном ${\displaystyle d}$-мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа^[24]:

${\displaystyle T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}}$

Их частным случаем выступают:

• ${\displaystyle T_{n}^{[2]}}$ — треугольные числа.
• ${\displaystyle T_{n}^{[3]}}$ — тетраэдральные числа.
• ${\displaystyle T_{n}^{[4]}}$ — пентатопные числа.

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода^[25]:

${\displaystyle T_{n}=S(n+1,n)}$

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие.. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
• Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

• Фигурные числа  (рус.). Издательская группа ОСНОВА.
• Villemin, Gérard. Nombres Triangulaires (фр.). Nombres — Curiosités, théorie et usages (2007).
• Weisstein, Eric W. Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.