Репди́джиты (англ. repdigit , от rep eated digit [ 1] репдигиты [ 2] однообра́зные чи́сла , шна́псовые чи́сланатуральные числа , все цифры записи которых одинаковые. Обычно подразумевается запись в десятичной системе счисления . Для подобных чисел верна формула.
n
n
… … -->
n
n
⏟ ⏟ -->
k
=
(
n
n
− − -->
n
)
k
− − -->
n
k
(
n
n
− − -->
2
⋅ ⋅ -->
n
)
⋅ ⋅ -->
n
(
k
− − -->
2
)
{\displaystyle \underbrace {nn\ldots nn} _{k}={\frac {(nn-n)^{k}-n^{k}}{(nn-2\cdot n)\cdot n^{(k-2)}}}}
Где nn - это объединение n с n. k - количество объединенных n.[ 3]
Пример: Для n = 23, k = 5.
(
2323
− − -->
23
)
5
− − -->
23
5
(
2323
− − -->
2
⋅ ⋅ -->
23
)
⋅ ⋅ -->
23
(
5
− − -->
2
)
=
64363429993563657
27704259
=
2323232323
⏟ ⏟ -->
5
{\displaystyle {\frac {(2323-23)^{5}-23^{5}}{(2323-2\cdot 23)\cdot 23^{(5-2)}}}={\frac {64363429993563657}{27704259}}=\underbrace {2323232323} _{5}}
Кроме того, любое число можно разложить на сумму и разность таких чисел. вот веб-сайт, где вы можете это сделать - https://andsha.pythonanywhere.com.
Например:
3453455634 = 3333333333 + (111111111 + (9999999 - (999999 - (11111 + (77 + (2)))))).
Рассмотрим сумму сочетаний чисел (nnn, nnnn, nnnnn, nnnnnn). Формула для их вычисления:[ 4]
n
⋅ ⋅ -->
(
n
n
n
+
n
n
n
n
n
+
n
n
n
n
n
+
n
n
n
n
n
n
)
=
n
n
⋅ ⋅ -->
(
n
n
n
+
n
n
n
n
n
)
+
2
n
2
{\displaystyle n\cdot (nnn+nnnnn+nnnnn+nnnnnn)=nn\cdot (nnn+nnnnn)+2n^{2}}
Примеры: 11 , 666 , 4444 , 999 999 . Все репдиджиты являются палиндромами и кратны репьюнитам . Самый известный репдиджит — 666, известный в христианстве как число зверя
Репдиджит — это число в позиционной системе счисления с целым основанием B , представимое в виде
x
B
y
− − -->
1
B
− − -->
1
,
{\displaystyle x{\frac {B^{y}-1}{B-1}},}
где 0 < x < B — повторяющаяся цифра, y — количество цифр. Например, число 77 в десятичной системе счисления представимо в виде
77
=
7
∗ ∗ -->
10
2
− − -->
1
10
− − -->
1
.
{\displaystyle 77=7*{\frac {10^{2}-1}{10-1}}.}
OEIS Последовательность A010785 в OEIS = Repdigit numbers, or numbers with repeated digits
Последовательность A028987 в OEIS = Repdigit - 1 is prime
Последовательность A028988 в OEIS = Repdigit + 1 is prime
Последовательность A164937 в OEIS = Near-repdigit primes 
