Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a {\displaystyle a} и натуральным показателем b {\displaystyle b} обозначается как
где b {\displaystyle b} — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].
Например, 3 2 = 3 ⋅ ⋅ --> 3 = 9 ; 2 4 = 2 ⋅ ⋅ --> 2 ⋅ ⋅ --> 2 ⋅ ⋅ --> 2 = 16 {\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}
В языках программирования, где написание a b {\displaystyle a^{b}} невозможно, применяются альтернативные обозначения[⇨].
Возведение в степень может быть определено также для отрицательных[⇨], рациональных[⇨], вещественных[⇨] и комплексных[⇨] степеней[1].
Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени c = a b {\displaystyle c=a^{b}} и показателя b {\displaystyle b} находит неизвестное основание a = c b {\displaystyle a={\sqrt[{b}]{c}}} . Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени c = a b {\displaystyle c=a^{b}} и основания a {\displaystyle a} находит неизвестный показатель b = log a --> c {\displaystyle b=\log _{a}c} . Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Запись a n {\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n {\displaystyle n} -й степени» или «a в степени n». Например, 10 4 {\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 10 3 / 2 {\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10 2 {\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 10 3 {\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо a 2 {\displaystyle a^{2}} , a 3 {\displaystyle a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].
Число, являющееся результатом возведения натурального числа в n {\displaystyle n} -ую степень, называется точной n {\displaystyle n} -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.
Все приведённые ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени[⇨].
Запись a n m {\displaystyle a^{n^{m}}} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае, ( a n ) m ≠ ≠ --> a ( n m ) {\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} Например, ( 2 2 ) 3 = 4 3 = 64 {\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64} , а 2 ( 2 3 ) = 2 8 = 256 {\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256} . В математике принято считать запись a n m {\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a ( n m ) {\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}} , а вместо ( a n ) m {\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто a n m {\displaystyle a^{nm}} , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения[какой?].
Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, a b ≠ ≠ --> b a {\displaystyle a^{b}\neq b^{a}} , например, 2 5 = 32 {\displaystyle 2^{5}=32} , но 5 2 = 25. {\displaystyle 5^{2}=25.}
Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::
Результат не определён при a = 0 {\displaystyle a=0} и z ⩽ ⩽ --> 0 {\displaystyle z\leqslant 0} .
Возведение в рациональную степень m / n , {\displaystyle m/n,} где m {\displaystyle m} — целое число, а n {\displaystyle n} — натуральное, положительного числа определяется следующим образом[4]:
Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.
Для отрицательных a {\displaystyle a} степень с дробным показателем не рассматривается.
Следствие: a n = a 1 / n ; a > 0 , a ∈ ∈ --> R . {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .} Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.
Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается R {\displaystyle \mathbb {R} } . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[5] соответствующих операций над рациональными числами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где α α --> {\displaystyle \alpha } — положительное):
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: α α --> = [ a n ] {\displaystyle \alpha =[a_{n}]} и β β --> = [ b n ] {\displaystyle \beta =[b_{n}]} , то их степенью называют число γ γ --> = [ c n ] {\displaystyle \gamma =[c_{n}]} , определённое степенью последовательностей { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} и { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} :
вещественное число γ γ --> = α α --> β β --> {\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }} , удовлетворяет следующему условию:
Таким образом степенью вещественного числа α α --> β β --> {\displaystyle \alpha ^{\beta }} является такое вещественное число γ γ --> {\displaystyle \gamma } которое содержится между всеми степенями вида ( a ′ ) b ′ {\displaystyle {(a')}^{b'}} с одной стороны и всеми степенями вида ( a ″ ) b ″ {\displaystyle {(a'')}^{b''}} с другой стороны.
Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.
Для отрицательных α α --> {\displaystyle \alpha } степень с вещественным показателем не рассматривается.
На практике для того, чтобы возвести число α α --> {\displaystyle \alpha } в степень β β --> {\displaystyle \beta } , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} . За приближенное значение степени α α --> β β --> {\displaystyle \alpha ^{\beta }} берут степень указанных рациональных чисел a b {\displaystyle a^{b}} . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают α α --> {\displaystyle \alpha } и β β --> {\displaystyle \beta } .
Пример возведения в степень γ γ --> = π π --> e {\displaystyle \gamma =\pi ^{e}} , с точностью до 3-го знака после запятой:
Полезные формулы:
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x y {\displaystyle x^{y}} , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:
Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме a + b i {\displaystyle a+bi} можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):
Заменяя степени i k {\displaystyle i^{k}} в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: i 4 k = 1 , i 4 k + 1 = i , i 4 k + 2 = − − --> 1 , i 4 k + 3 = − − --> i , k ∈ ∈ --> N {\displaystyle i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N} } , получим:
Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента e z {\displaystyle e^{z}} , где e {\displaystyle e} — число Эйлера, z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} — произвольное комплексное число[8].
Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:
Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного z , {\displaystyle z,} поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для e i y {\displaystyle e^{iy}} :
В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:
Общий случай a b {\displaystyle a^{b}} , где a , b {\displaystyle a,b} — комплексные числа, определяется через представление a {\displaystyle a} в показательной форме: a = r e i ( θ θ --> + 2 π π --> k ) {\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}} согласно определяющей формуле[8]:
Здесь Ln {\displaystyle \operatorname {Ln} } — комплексный логарифм, ln {\displaystyle \ln } — его главное значение.
При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[8]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество e 2 π π --> i = 1 {\displaystyle e^{2\pi i}=1} в степень i . {\displaystyle i.} Слева получится e − − --> 2 π π --> , {\displaystyle e^{-2\pi },} справа, очевидно, 1. В итоге: e − − --> 2 π π --> = 1 , {\displaystyle e^{-2\pi }=1,} что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень i {\displaystyle i} даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных k {\displaystyle k} ), поэтому правило ( a b ) c = a b c {\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}} здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа e − − --> 2 π π --> k ; {\displaystyle e^{-2\pi k};} отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при k = 0 {\displaystyle k=0} и при k = 1. {\displaystyle k=1.}
Поскольку в выражении x y {\displaystyle x^{y}} используются два символа ( x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.
Выражение 0 0 {\displaystyle 0^{0}} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция f ( x , y ) = x y {\displaystyle f(x,y)=x^{y}} в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:
можно записать короче:
Следует предостеречь, что соглашение 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.
В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, x 4 {\displaystyle x^{4}} изображалось как x x x x . {\displaystyle xxxx.} Отред записывал x 5 − − --> 15 x 4 {\displaystyle x^{5}-15x^{4}} следующим образом: 1 q c − − --> 15 q q {\displaystyle 1qc-15qq} (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[9]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.
В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[10]; например, ( 2 ) 2 + 1 ( 2 ) {\displaystyle (2)2+1(2)} у него означало 2 2 + x 2 {\displaystyle 2^{2}+x^{2}} . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали x 4 {\displaystyle x^{4}} в виде x 4 {\displaystyle x4} и x I V {\displaystyle x^{IV}} соответственно[11].
Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[11][12].
С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:
**
↑
^
3^2 = 9
5^2 = 25
2^3 = 8
5^3 = 125
Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: a b c = a ( b c ) {\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)}} .
a^b^c
(a^b)^c
a^(b^c)
Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:
x ↑ y
x ^ y
x ^^ y
x ** y
x⋆y
Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.
Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).
Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде M {\displaystyle M} (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно[13] для любого x ∈ ∈ --> M {\displaystyle x\in M} :
Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.
Гипероператор возведения в степень — тетрация.
Math.pow(x, y)
Lokasi Pengunjung: 3.12.149.139