Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией ${\displaystyle (S,\cdot )}$. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу ${\displaystyle S}$, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент ${\displaystyle e\not \in S}$ и определив ${\displaystyle es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};}$ полученный моноид обычно обозначается как ${\displaystyle S^{1}}$.

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Полугруппой является (непустое) множество ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$, в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {U}}}$ определён новый элемент, называемый их произведением ${\displaystyle U=XY\in {\mathfrak {U}}}$, причём для любых ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}}$ всегда выполнено ${\displaystyle (XY)Z=X(YZ)}$^[1].

Полугруппа ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ называется коммутативной (или абелевой), если для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {U}}}$ всегда выполнено ${\displaystyle AB=BA}$.

Важные классы образуют полугруппы с сокращением^[2]:

• с левым сокращением, если при любых ${\displaystyle X,A,B\in {\mathfrak {U}}}$ из ${\displaystyle XA=XB}$ всегда следует ${\displaystyle A=B}$;
• с правым сокращением, если при любых ${\displaystyle Y,A,B\in {\mathfrak {U}}}$ из ${\displaystyle AY=BY}$ всегда следует ${\displaystyle A=B}$;
• с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.

Элемент ${\displaystyle A}$ полугруппы ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ называется регулярным, если в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ найдется такой элемент ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle AXA=A}$. Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.

Элемент ${\displaystyle A}$ полугруппы ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ называется вполне регулярным, если в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ найдется такой элемент ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle AXA=A}$ и ${\displaystyle AX=XA}$. Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярны^[3].

Полугруппа ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$, в которой для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {U}}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ всегда найдутся такие ${\displaystyle X,Y}$, что ${\displaystyle XA=B}$ и ${\displaystyle AY=B}$, является группой.

Если ${\displaystyle A,B\subset S}$, то принято обозначать ${\displaystyle AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}}$.

Подмножество ${\displaystyle A}$ полугруппы ${\displaystyle S}$ называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из ${\displaystyle A}$ их произведение также принадлежало ${\displaystyle A}$.

Если подмножество ${\displaystyle A}$ непусто и ${\displaystyle AS}$ (соответственно, ${\displaystyle SA}$) лежит в ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle A}$ называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если ${\displaystyle A}$ является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

${\displaystyle a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a} }}}$.

Для степени элемента справедливо соотношение ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{nm},\forall n,m\in \mathbb {N} }$.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ определено правое ${\displaystyle (a/b)}$ и левое ${\displaystyle (b/a)}$ частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого ${\displaystyle aa=a}$).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение ${\displaystyle f}$ из полугруппы ${\displaystyle R}$ в полугруппу ${\displaystyle S}$ называется гомоморфизмом, если ${\displaystyle \forall a,b\in R\ f(ab)=f(a)f(b)}$. Две полугруппы ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм ${\displaystyle f\colon S\to T}$.

В 1951 году Джеймс Грин^[англ.] ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе ${\displaystyle S}$ определяются следующими формулами:

${\displaystyle aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}}$

${\displaystyle aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b}$

${\displaystyle aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}$

${\displaystyle H=L\cap R}$

${\displaystyle D=R\vee L}$

Из определения непосредственно следует, что ${\displaystyle R}$ — правая конгруэнция, а ${\displaystyle L}$ — левая конгруэнция. Также известно, что ${\displaystyle D=R\circ L=L\circ R}$. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ R-эквивалентны, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ такие, что ${\displaystyle au=b}$, ${\displaystyle bv=a}$ и ${\displaystyle p_{u},p_{v}}$ — соответствующие правые сдвиги, то ${\displaystyle p_{u},p_{v}}$ — взаимно обратные биекции ${\displaystyle L_{a}}$ на ${\displaystyle L_{b}}$ и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Ляпин Е. С. Полугруппы. — М.: Физматлит, 1960. — 592 с.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.