Комплексный логарифм

Наглядное представление функции натурального комплексного логарифма (главная ветвь). Аргумент значения функции обозначается цветом, а модуль — яркостью.

Комплексный логарифманалитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для вещественных, то есть как обращение показательной функции. На практике используется практически только натуральный комплексный логарифм, основание которого — число Эйлера : он обозначается обычно .

Натуральный логарифм комплексного числа определяется[1] как решение уравнения

Другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже.

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ; однако также . Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом )[2], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:

где — произвольное целое число

Тогда находится по формуле[3]:

Здесь — вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное

Вещественная часть комплексного логарифма

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма[1]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к

Логарифм отрицательного числа находится по формуле[3]:

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма () и общее его выражение () для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

— явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (). Причина ошибки — неосторожное использование свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

Риманова поверхность для комплексного логарифма

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью[4]. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при . Особые точки: и (точки разветвления бесконечного порядка)[5].

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей[6] для комплексной плоскости без точки .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке кривой можно определить по формуле[5]:

Если — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции[5] (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма[2]:

Для любой окружности , охватывающей точку :

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью версий ряда Меркатора, известных для вещественного случая:

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями[7] [8]:

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом [8]:

— обратный гиперболический синус
— обратный гиперболический косинус
— обратный гиперболический тангенс
— обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма[9]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число[9]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной[10]. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции[11], определяемой как интеграл от . Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм[12].

Литература

Теория логарифмов

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.

Примечания

  1. 1 2 Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. Архивировано 16 октября 2013 года.
  2. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 520-522..
  3. 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 623..
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 92-94..
  5. 1 2 3 Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45-46, 99-100..
  6. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21). Архивировано 2 марта 2022 года.
  7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 522-526..
  8. 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 624..
  9. 1 2 История математики, том III, 1972, с. 325-328..
  10. Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230-231..
  11. Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций, 1981, с. 122-123..
  12. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. II. Геометрия. — С. 159-161. — 416 с. Архивировано 16 октября 2015 года.

Read other articles:

Koordinat: 43°38′48″N 79°23′25″W / 43.64667°N 79.39028°W / 43.64667; -79.39028 Minikino Film WeekMFW Popup Cinema - Bali International Short Film FestivalLokasiBali, IndonesiaDidirikan2015Tanggal festival15 - 23 September 2023BahasaInternasional[www.minikino.org/filmweek/ Situs web resmi] Minikino Film Week Bali International Short Film Festival atau MFW adalah sebuah festival film pendek internasional di Bali - Indonesia yang diselenggarakan sejak 2015 dan...

 

 

Eurypygiformes Eurypyga helias Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Aves Ordo: EurypygiformesHackett et al., 2008 Famili Rhynochetidae Eurypygidae Eurypygiformes /jʊərɪˈpɪdʒɪfɔːrmiːz/ adalah ordo yang terdiri dari keluarga burung Kagu (Rhynochetidae) dan Sunbittern (Eurypygidae).[1] Kerabat terdekatnya kemungkinan adalah burung buntut sate yang tersebar di samudra tropis Atlantik, Hindia, dan Pasifik.[2] Referensi ^ Hackett, Shannon J.; et al...

 

 

Sepak takraw pada Pekan Olahraga Provinsi Sulawesi Selatan 2022Piktogram cabor sepak takrawLokasiGelanggang Olah Raga (GOR) Dolog Sinjai SMK Negeri 1 Sinjai di Jl. Tekukur No. 1, Kelurahan Biringere, Kecamatan Sinjai Utara, Kabupaten SinjaiTanggal21–30 Oktober 2022← 20182026 → Sepak takraw adalah salah satu dari 33 cabang olahraga inti yang dipertandingkan pada Pekan Olahraga Provinsi Sulawesi Selatan 2022. Pelaksanaan cabang olahraga ini di bawah naungan Persatuan Sep...

Pulang Malu Tak Pulang RinduGenre Drama Roman Komedi SutradaraVemmy SagitaPemeran Ringgo Agus Rahman Syahnaz Sadiqah Giovanni L. Tobing Frans Damanik Abio Abie Penggubah lagu temaArmadaLagu pembukaPulang Malu Tak Pulang Rindu oleh ArmadaLagu penutupPulang Malu Tak Pulang Rindu oleh ArmadaNegara asalIndonesiaBahasa asliBahasa IndonesiaJmlh. musim1Jmlh. episode17ProduksiProduserLeo SutantoPengaturan kameraMulti-kameraRumah produksiSinemArt (MNC Pictures)DistributorMedia Nusantara CitraRilis as...

 

 

With a total fertility rate of 2.02 (in 2008),[1] France is the most fertile country in the European Union. Population density in the French Republic at the 1999 census. All territories are shown at the same geographic scale. Demografi Prancis merupakan kesatuan informasi dan penelitian mengenai populasi di Prancis dalam suatu jarak waktu. Informasi ini dipersiapkan oleh l'Institut national de la statistique et des études économiques (atau disingkat Insee) Per tanggal 1 Januari 2010...

 

 

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年 大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)(47—48歲) † 中華民國福建省金門縣国籍 中華民國政党 中國國民黨获奖 青天白日勳章(追贈)军事背景效忠 中華民國服役 國民革命軍 中華民國陸軍服役时间1924年-1958年军衔 二級上將 (追晉)部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

Orthodox religious holiday Tatiana DayStudents of Lomonosov Moscow State University celebrating Tatiana DayOfficial nameДень студенчества (Students Day)Also calledStudents Day, Tatyana's DayObserved byEastern Orthodox Church, RussiaSignificancePublic holiday, Orthodox feast day, name dayDate25 JanuaryFrequencyAnnual Tatiana Day (Russian: Татьянин день, Tatyanin den'), also known as Tatyana's Day or Students Day, is named after Saint Tatiana, a Christian ma...

 

 

Apartment complex in Hong Kong This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Grenville House – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2020) (Learn how and when to remove this message) Grenville House. Grenville House is a mid-rise (14 floors) apartment complex at 1-3 Magazine Gap Road in the Mi...

 

 

Эта статья — о спортивном сооружении в Берлине. О местности в Рейнланд-Пфальце см. Майфельд. Вид на Олимпийский стадион со стороны Майского поля. Фото 2012 года Расположение Майского поля на карте Колокольня и трибуна на Майском поле перед стадионом. Фото 2017...

Group of West Slavic dialects You can help expand this article with text translated from the corresponding article in German. (March 2009) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the German article. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated ...

 

 

2000 UK local government election Map of the results of the 2000 Woking council election. Liberal Democrats in yellow, Conservatives in blue, Labour in red and independent in grey. The 2000 Woking Council election took place on 4 May 2000 to elect members of Woking Borough Council in Surrey, England. The whole council was up for election with boundary changes since the last election in 1999 increasing the number of seats by one.[1] The council stayed under no overall control,[2 ...

 

 

Brazilian racing driver (born 1953) This biography of a living person relies on a single source. You can help by adding reliable sources to this article. Contentious material about living people that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately. (August 2009) (Learn how and when to remove this message) Ingo HoffmannIn 2007, as a Stock Car Brasil driverBorn (1953-02-28) 28 February 1953 (age 71)São Paulo, BrazilFormula One World Championship careerNationality BrazilianActiv...

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

 

 

Soviet gymnast In this name that follows Eastern Slavic naming customs, the patronymic is Vikentyevna and the family name is Lobatch. Marina LobatchFull nameMarina Vikentyevna LobatchCountry represented Soviet UnionBorn (1970-06-26) June 26, 1970 (age 53)Smalyavichy, Byelorussian SSR, Soviet Union(now Belarus)ResidenceMinsk, BelarusSpouseDmitry BogdanovDisciplineRhythmic gymnasticsHead coach(es)Galina Krylenko, Irina LeparskayaRetired1989 Medal record Rhythmic gymnasti...

 

 

У этого топонима есть и другие значения, см. Подветренные острова. Северо-западные Гавайские островаангл. Northwestern Hawaiian Islands Гряда гавайских островов Характеристики Крупнейший островМидуэй  Общая площадь14,3 км² Наивысшая точка273 м Население0 чел. (2012) Располож�...

The Maryland Forest Service in 1996 marked the 90th anniversary of forestry in Maryland, United States and the birth of what is known as the Department of Natural Resources Forest Service. Although the service has been known by many names over nine decades, its mission has been consistent: To conserve and enhance the quality, quantity, productivity and biological diversity of the forest and tree resources of Maryland.[1] History When the first colonists arrived in Maryland in the earl...

 

 

Belgian one-day road cycling race Dwars door VlaanderenRace detailsDateLate March, begin AprilRegionFlanders, BelgiumEnglish nameAcross FlandersLocal name(s)Dwars door Vlaanderen (in Dutch)DisciplineRoadCompetitionUCI World TourTypeSemi-classic one-day raceOrganiserFlanders ClassicsWeb sitewww.ddvl.eu Men's historyFirst edition1945 (1945)Editions78 (as of 2024)First winner Rik Van Steenbergen (BEL)Most wins14 riders with 2 wins eachMost recent...

 

 

State agency of Nevada This article may rely excessively on sources too closely associated with the subject, potentially preventing the article from being verifiable and neutral. Please help improve it by replacing them with more appropriate citations to reliable, independent, third-party sources. (June 2022) (Learn how and when to remove this message) The Nevada Division of Child and Family Services (DCFS) is a state agency of Nevada, headquartered on the third floor of the 4126 Technology W...

British academic and author (1874-1942) Not to be confused with Robert William Chambers. Portrait of Raymond Wilson Chambers by Walter Stoneman, 1933 Raymond Wilson Chambers (12 November 1874 – 23 April 1942) was a British literary scholar, author, librarian and academic; throughout his career he was associated with University College London (UCL). Life Chambers was born at Staxton, East Riding of Yorkshire (now North Yorkshire), on 12 November 1874, the only son of Thomas Herbert Chamb...

 

 

Khâu Thanh Tuyền (邱清泉)Biệt danhKhâu KhùngSinh27 tháng 1 năm 1902Vĩnh Gia, Chiết GiangMất10 tháng 1 năm 1949Vĩnh Thành, tỉnh Hà NamThuộc Trung Hoa Dân QuốcNăm tại ngũ1924-1948Quân hàmThượng tướngĐơn vịSư đoàn 10Chỉ huyQuân đoàn 5, Binh đoàn 2Tham chiếnChiến tranh Bắc phạt, Trận Nam Kinh, Trận Côn Lôn Quan, Chiến dịch Hoài HảiKhen thưởngHuân chương Vân Huy, Huân chương Bảo Đỉnh, Huân chương Tự do,...