PROFILPELAJAR.COM

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 10⁹, нет^[1].

Определения

Нерешённые проблемы математики: Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

{2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{4}}},

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент^[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

{2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли B_p−3^[3]^[4]^[5]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой^[6]^[7].

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что^[8]

H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,

то есть числитель гармонического числа $H_{p-1}$ делится на p³.

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде^[9]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году^[10]. В то время вплоть до 1,2⋅10⁷ не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух^[11]. Позднее граница была поднята до 2⋅10⁸ Макинтошем (McIntosh) в 1995 году^[4], а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅10⁸^[12]. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅10⁹ так и не нашли простых чисел Вольстенхольма^[13].

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

W_{p}{=}{\frac {{2p \choose p}-2}{p^{3}}}.

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда W_p ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток W_p по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p^[4].

См. также

Примечания

↑ Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Cook, J. D. Binomial coefficients (неопр.). Дата обращения: 21 декабря 2010. Архивировано 29 января 2013 года.
↑ Clarke & Jones, 2004, p. 553
↑ ¹ ² ³ McIntosh, 1995, p. 387.
↑ Zhao, 2008, p. 25
↑ Johnson, 1975, p. 114.
↑ Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä, 1993, p. 152.
↑ Zhao, 2007, p. 18.
↑ Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Selfridge & Pollack, 1964, p. 97 (см. McIntosh & Roettger, 2007, p. 2092).
↑ Ribenboim, 2004, p. 23.
↑ Zhao, 2007, p. 25.
↑ Trevisan, Weber, 2001, p. 283–284.
↑ McIntosh, Roettger, 2007, p. 2092.

Литература

Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120 Архивировано 20 декабря 2010 года.
Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million" (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151–153 Архивировано 12 ноября 2010 года.
McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 71: 381–389 арх.
Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), "Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275–286 Архивировано 10 декабря 2010 года.
Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 {{citation}}: Внешняя ссылка в |chapter= (справка) арх.
Clarke, F.; Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194 Архивировано 2 января 2011 года.
McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes" (PDF), Mathematics of Computation, 76: 2087–2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 арх.
Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem" (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 Архивировано 12 ноября 2010 года.
Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums" (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73–106 арх.
Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics, 3, arXiv:0907.2578
Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49
Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35–39

Ссылки

Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — из справочника простых чисел
McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 e-mail to Paul Zimmermann
Bruck, R. Wolstenholme’s Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — интересное наблюдение, связанное с простыми числами Вольстенхольма.

[1] Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[2] Cook, J. D. Binomial coefficients (неопр.). Дата обращения: 21 декабря 2010. Архивировано 29 января 2013 года.

[3] Clarke & Jones, 2004, p. 553

[_d32ed454092c78a8-4] ¹ ² ³ McIntosh, 1995, p. 387.

[5] Zhao, 2008, p. 25

[_b31b03ca841e1b50-6] Johnson, 1975, p. 114.

[_d5d57bc5202b1ba1-7] Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä, 1993, p. 152.

[_303290aeba447a99-8] Zhao, 2007, p. 18.

[9] Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Selfridge & Pollack, 1964, p. 97 (см. McIntosh & Roettger, 2007, p. 2092).

[_40bc377fb8f362e3-10] Ribenboim, 2004, p. 23.

[_30328daeba4475bd-11] Zhao, 2007, p. 25.

[_7e24a257b2f7c89f-12] Trevisan, Weber, 2001, p. 283–284.

[_a8ce21e2f34c7bb6-13] McIntosh, Roettger, 2007, p. 2092.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

PROFILPELAJAR.COM

Простое число Вольстенхольма

Содержание

Определения

Через биномиальные коэффициенты

Через числа Бернулли

Через иррегулярные пары

Через гармонические числа

Поиск и текущее состояние

Ожидаемое количество

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Read other articles:

Anhar Gonggong

Bigtan dan Teresh

Liebeskonzil

نيا أرتاكي

Giovanni Ferrari

House of European History

The Citadel (1938 film)

Kalakukko

Recruitment

Formula One 2003

Great Falls, Montana

Unione Sportiva Fiumana 1941-1942

هنود

Luigi Zarcone

Neutron Star Collision (Love Is Forever)

Crime in Israel

Davide Astori

State Basketball Centre

Fussballclub Schaffhausen

Integral Gauss