テトレーション （英 : tetration ）とは、冪乗 の次となる4番目のハイパー演算 である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算 である。超冪 （ちょうべき）ともいう。テトレーションという語はルーベン・グッドスタイン （英語版 ） 4 」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された[ 1]
任意の正の実数 a > 0整数 n ≥ 0n a再帰的 に定める。
n
a
:=
{
1
if
n
=
0
a
[
(
n
− − -->
1
)
a
]
if
n
>
0
{\displaystyle {}^{n}a:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}
冪乗の演算が右結合、すなわち 101010 のように積みあがった指数の上側から計算していくように、テトレーションの計算も n an の部分から計算していく。
定義から直ちに、次の等式が成り立つ。
log
a
-->
(
n
+
1
a
)
=
n
a
{\displaystyle \log _{a}\left({}^{n+1}a\right)={}^{n}a}
a と 10 が互いに素 であるとき、n ad 桁がオイラーの定理 から求められる。
テトレーションには多数の表記が存在する。テトレーションに使われる表記の中にはペンテーション やヘキセーション など、より高次のハイパー演算 の表記にも使用できるものもいくつかある。
名称
表記
説明
ルーディ・ラッカーの表記
n
a
{\displaystyle {}^{n}a}
マウラー[ 2] [ 3] グッドスタイン （英語版 ） [ 1] ルーディ・ラッカー の『無限と心 （英語版 ）
クヌースの矢印表記
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->
n
,
a
↑ ↑ -->
2
n
{\displaystyle a\uparrow \uparrow n,a\uparrow ^{2}n}
矢印または添字を増やすことで拡張できる。
コンウェイのチェーン表記
a
→ → -->
n
→ → -->
2
{\displaystyle a\to n\to 2}
数字を増やす、またはチェーンを拡張することで拡張できる。
アッカーマン関数
n
2
=
Ack
-->
(
4
,
n
− − -->
3
)
+
3
{\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {Ack} (4,n-3)+3}
底が 2 のときに限り、アッカーマン関数 による表記が可能。
指数関数 の反復合成 による表示
n
a
=
exp
a
n
-->
(
1
)
{\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}
右辺の表記に関しては後述。
フーシュマンドの表記
uxp
a
-->
(
n
)
,
a
n
_ _ -->
{\displaystyle \operatorname {uxp} _{a}(n),a^{\underline {n}}}
フーシュマンドの論文では「ultra power」（超冪）と書かれている[ 4]
ハイパー演算子 表記
a
[
4
]
n
,
H
4
(
a
,
n
)
{\displaystyle a[4]n,H_{4}(a,n)}
hyper
-->
(
a
,
4
,
n
)
,
hyper4
-->
(
a
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {hyper} (a,4,n),\operatorname {hyper4} (a,n)}
数字を増やすことで拡張でき、一連のハイパー演算子 を与える。
ASCII 表記
a^^n
ASCII 文字で表現する際、冪乗をキャレット ^で表すことから。
バウアーズの配列表記
{
a
,
b
,
2
}
{\displaystyle \lbrace a,b,2\rbrace }
拡張配列表記へと一般化でき、さらにBEAF およびバードの配列表記へと一般化される[ 5]
反復指数関数（英 : iterated exponential function ）、あるいは反復冪（英 : iterated exponential ）とは指数関数 の反復合成 、あるいはその類似の関数およびその値を指して呼ばれる関数である[ 6] [ 7] n と正実数 a の2つのパラメータを持つ実関数
e
x
p
a
n
-->
(
x
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {exp} } \nolimits _{a}^{n}(x)}
exp
a
n
-->
(
x
)
=
a
a
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
a
x
{\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}
n 個の a の上に x が乗っている）この関数は他に次のような表記で書かれる。
名称
表記
説明
（指数の反復合成）
exp
a
n
-->
(
x
)
{\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}
指数関数 の表記
exp
a
-->
(
x
)
{\displaystyle \exp _{a}(x)}
オイラー による。
クヌースの矢印表記
(
a
↑ ↑ -->
)
n
(
x
)
{\displaystyle \left(a{\uparrow }\right)^{n}(x)}
矢印の数を増やすことで拡張できる。en:Large numbers を参照。
ガリダキスの表記
n
(
a
,
x
)
{\displaystyle {}^{n}(a,x)}
底の表記が小さくならない[ 8]
ASCII 表記
exp_ a^ n(x)
標準的な表記をベースにASCII 文字のみを使用した表記。
J言語 表記[ 9] x ^^: ( n - 1 ) x
以下の表では、大部分の値が指数表記 による表記すら困難なほど巨大であるため、それらの表記には底を 10 とした反復指数関数を用いた。なお小数部を持つ値はすべて近似値 である。
x
{\displaystyle x}
2
x
{\displaystyle {}^{2}x}
3
x
{\displaystyle {}^{3}x}
4
x
{\displaystyle {}^{4}x}
1
1 (11 )
1 (11 )
1 (11 )
2
4 (22 )
16 (24 )
65,536 (216 )
3
27 (33 )
7,625,597,484,987 (327 )
1.258015 × 103,638,334,640,024
4
256 (44 )
1.34078 ×10154 (4256 )
exp
10
3
-->
(
2.18726
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}
153 桁)
5
3,125 (55 )
1.91101 × 102,184 (53,125 )
exp
10
3
-->
(
3.33928
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}
2,184 桁)
6
46,656 (66 )
2.65912 × 1036,305 (646,656 )
exp
10
3
-->
(
4.55997
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}
36,305 桁)
7
823,543 (77 )
3.75982 × 10695,974 (7823,543 )
exp
10
3
-->
(
5.84259
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}
695,974 桁)
8
16,777,216 (88 )
6.01452 × 1015,151,335
exp
10
3
-->
(
7.18045
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}
15,151,335 桁)
9
387,420,489 (99 )
4.28125 × 10369,693,099
exp
10
3
-->
(
8.56784
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}
369,693,099 桁)
10
10,000,000,000 (1010 )
1010,000,000,000
exp
10
4
-->
(
1
)
{\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}
10,000,000,000 桁)
テトレーション n aa は正の実数に対して定義できるので、n を固定したときにそれぞれ微分と積分が定義できる。
任意の正の整数 n に対し、 n x[ 10]
d
d
x
n
x
=
1
x
∑ ∑ -->
k
=
1
n
(
ln
-->
x
)
k
− − -->
1
∏ ∏ -->
j
=
n
− − -->
k
n
j
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}{}^{n}x={\frac {1}{x}}\sum _{k=1}^{n}(\ln x)^{k-1}\prod _{j=n-k}^{n}{}^{j}x}
区間 x ∈ (0, 1] における y = x x y = x −x のグラフ。 1/2 x 、 2 x 0 から 1 までの定積分は二年生の夢 と呼ばれる。
∫ ∫ -->
0
1
1
2
x
d
x
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
1
2
n
(
=
1.29128599706266354040728259059560054149861936827
… … -->
)
∫ ∫ -->
0
1
2
x
d
x
=
− − -->
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
2
(
− − -->
n
)
(
=
0.78343051071213440705926438652697546940768199014
… … -->
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{{}^{2}x}}\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{}^{2}n}}&{\scriptstyle (=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )}\\\int _{0}^{1}{{}^{2}x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }{{}^{2}(-n)}&{\scriptstyle (=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots )}\end{aligned}}}
任意の正の整数 n に対し、n x[ 11]
∫ ∫ -->
n
x
d
x
=
∑ ∑ -->
j
=
0
n
(
− − -->
1
)
j
(
j
+
1
)
j
− − -->
1
j
!
b
j
(
x
)
+
∑ ∑ -->
j
=
n
+
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
j
a
n
,
j
b
j
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {}^{n}x{\mathrm {d} }x=\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(j+1)^{j-1}}{j!}}b_{j}(x)+\sum _{j=n+1}^{\infty }(-1)^{j}a_{n,j}b_{j}(x)+C}
ここで aj,k は
a
j
,
k
=
{
1
if
k
=
0
1
k
!
if
j
=
0
1
k
∑ ∑ -->
l
=
1
k
l
a
j
,
k
− − -->
l
a
j
− − -->
1
,
l
− − -->
1
otherwise
{\displaystyle a_{j,k}={\begin{cases}1&{\text{if }}k=0\\{\frac {1}{k!}}&{\text{if }}j=0\\{\frac {1}{k}}\sum _{l=1}^{k}la_{j,k-l}a_{j-1,l-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
で与えられる有理数であり、 b j x )不完全ガンマ関数 を用いて
b
j
(
x
)
=
Γ Γ -->
(
j
+
1
,
ln
-->
x
)
{\displaystyle b_{j}(x)=\Gamma \left(j+1,\ln x\right)}
で与えられる。
テトレーションは、高さが正の整数 以外の場合に拡張できる。
0 0の0乗 が単純には定義できないため、 n 極限 が
lim
x
→ → -->
0
+
n
x
=
{
1
n
∈ ∈ -->
2
Z
0
n
∈ ∈ -->
2
Z
+
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}{}^{n}x={\begin{cases}1&n\in 2\mathbb {Z} \\0&n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}}
と収束するため、
n
0
=
{
1
n
∈ ∈ -->
2
Z
0
n
∈ ∈ -->
2
Z
+
1
{\displaystyle {}^{n}0={\begin{cases}1&n\in 2\mathbb {Z} \\0&n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}}
と定義する。（ここで、2Z 、2Z +1 はそれぞれ偶数 、奇数 の集合を表す。）
なお、ここで 00 が一意に決まらないにもかかわらず 2 0 (= 00 )ab の a と b が等しいという条件下で極限を取ったからである。
収束または振動する点 発散する点 複素数 の累乗が可能なことから、テトレーションは複素数の底に対しても定義できる。
例えばテトレーション n i対数関数 の主枝 を用いて定められる。このときオイラーの公式 から次の式が得られる。
i
a
+
b
i
=
e
1
2
π π -->
i
(
a
+
b
i
)
=
e
− − -->
1
2
π π -->
b
(
cos
-->
π π -->
a
2
+
i
sin
-->
π π -->
a
2
)
{\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}\pi i(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi b}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}
従って任意の n i = a + b i n + 1i = a ′ + b ′i
a
′
=
e
− − -->
1
2
π π -->
b
cos
-->
π π -->
a
2
b
′
=
e
− − -->
1
2
π π -->
b
sin
-->
π π -->
a
2
{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}
ここから以下の近似値が導かれる。
n
i
{\displaystyle ^{n}i}
近似値
1
i
=
i
{\displaystyle {}^{1}i=i}
i
{\displaystyle i}
2
i
=
i
(
1
i
)
{\displaystyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}
[ 注 1]
0.2079
{\displaystyle 0.2079}
3
i
=
i
(
2
i
)
{\displaystyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}
0.9472
+
0.3208
i
{\displaystyle 0.9472+0.3208i}
4
i
=
i
(
3
i
)
{\displaystyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}
0.0501
+
0.6021
i
{\displaystyle 0.0501+0.6021i}
5
i
=
i
(
4
i
)
{\displaystyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}
0.3872
+
0.0305
i
{\displaystyle 0.3872+0.0305i}
6
i
=
i
(
5
i
)
{\displaystyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}
0.7823
+
0.5446
i
{\displaystyle 0.7823+0.5446i}
7
i
=
i
(
6
i
)
{\displaystyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}
0.1426
+
0.4005
i
{\displaystyle 0.1426+0.4005i}
8
i
=
i
(
7
i
)
{\displaystyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}
0.5198
+
0.1184
i
{\displaystyle 0.5198+0.1184i}
9
i
=
i
(
8
i
)
{\displaystyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}
0.5686
+
0.6051
i
{\displaystyle 0.5686+0.6051i}
同様に値を逆向きに求めていくことで 0 i = 1−1 i = 0n i複素平面 上にプロットすると、点列は渦巻状に極限値 0.4383 + 0.3606i へと近づく。この値は n →∞
このようなテトレーションの列に関する研究はオイラー の時代から続けられてきているものの、そのカオス 的な振る舞いのために不明な所が多い。これまでに発表された研究のほとんどは、無限反復指数関数の収束について焦点を当てたものである。現在の研究は高性能のコンピュータを用いたフラクタル と数式処理システム の出現に大きな恩恵を受けている。テトレーションについて分かっていることの多くは、複素力学系 の一般的な知識と、指数写像 の専門的な研究によるものである。
e
− − -->
e
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
e
1
/
e
{\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}}
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
n
x
{\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }{}^{n}x}
関数
|
W
(
− − -->
ln
-->
z
)
− − -->
ln
-->
z
|
{\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}
ある範囲の底 a に対して lim n →∞n a 収束 するので、この範囲においてテトレーションは高さ無限大の場合へ拡張できる。例えば lim n →∞n √ 2 2 であるから、 ∞ (√ 2
一般に無限反復指数関数
x
x
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
{\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}
n が無限大に向かうときの n xe −e ≤ x ≤ e 1/e 0.066 から 1.44 ）の範囲で収束することはオイラー によって示された[ 12]
極限値 ∞ x
∞ ∞ -->
x
=
x
∞ ∞ -->
x
{\displaystyle {}^{\infty }x=x^{{}^{\infty }x}}
(1 )
を満たす正の実数に等しい。
式(1)より x = (∞ x )1/∞ x e 1/e x > e 1/e
x
↦ ↦ -->
∞ ∞ -->
x
{\displaystyle x\mapsto {}^{\infty }x}
y
↦ ↦ -->
y
1
/
y
{\displaystyle y\mapsto y^{1/y}}
式(1)から、極限値 ∞ z ランベルトのW関数 W を用いて次のように定義することで複素数の底 z に対しても拡張される。
∞ ∞ -->
z
=
z
z
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
=
W
(
− − -->
ln
-->
z
)
− − -->
ln
-->
z
{\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}
(2 )
定義より
n
a
=
log
a
-->
{
(
n
+
1
)
a
}
{\displaystyle {}^{n}a=\log _{a}\left\{{}^{(n+1)}a\right\}}
が成り立つので、この関係を k ≤ 0
1
n
=
log
n
-->
(
2
n
)
=
log
n
-->
(
n
n
)
=
n
log
n
-->
n
=
n
0
n
=
log
n
-->
(
1
n
)
=
log
n
-->
n
=
1
− − -->
1
n
=
log
n
-->
(
0
n
)
=
log
n
-->
1
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{rclclcccc}{}^{1}n&=&\log _{n}\left({}^{2}n\right)&=&\log _{n}\left(n^{n}\right)&=&n\log _{n}n&=&n\\{}^{0}n&=&\log _{n}\left({}^{1}n\right)&=&\log _{n}n&&&=&1\\{}^{-1}n&=&\log _{n}\left({}^{0}n\right)&=&\log _{n}1&&&=&0\end{array}}}
と定義する。
ただし、定義できるのは n = −1log 0 が存在しないため n = −2n ≤ −2
テトレーションを高さ実数 または複素数 へ拡張する、という一般的な問題への広く受け入れられた解答は今のところ存在しない。いくつかのアプローチについて以下で述べる。
一般にこの問題は任意の実数 a > 0x > −2f (x ) = x a
f (0) = 1f (−1) = 0任意の実数 x > −1f (x ) = a ↑↑(f (x −1))
三つ目の条件は通常次の中のどれかである。
連続性 （通常は x > 0a 、 x についての連続性）微分可能性 （x についての 1 、 2 、 k 回または無限回微分可能性）正則性（x についての 2 階微分可能性を含む） 任意の実数 x > 0
d
2
d
x
2
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle \displaystyle {{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)>0}}
が成立する。 三つ目の条件は著者およびアプローチによって異なる。実数高さへの拡張には二つの主要なアプローチが存在し、一つは正則性、もう一つは微分可能性に基づいたものである。これらの二つのアプローチは、相反する結果を導くことから互いに大きく異なるとされ、調和は難しいと考えられている。
長さ 1 の区間で x ax >−2
x a a = 4, e , 2, 1.5, 0.5漸近線 はx = -2一次近似（連続性のもと微分可能性を近似）は次のように与えられる。
x
a
≈ ≈ -->
{
1
+
x
− − -->
1
<
x
≤ ≤ -->
0
a
(
x
− − -->
1
a
)
0
<
x
log
a
-->
(
x
+
1
a
)
x
≤ ≤ -->
− − -->
1
{\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\\\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\end{cases}}}
ゆえに
近似
定義域
x
a
≈ ≈ -->
x
+
1
{\displaystyle {}^{x}a\approx x+1}
− − -->
1
<
x
<
0
{\displaystyle -1<x<0}
x
a
≈ ≈ -->
a
x
{\displaystyle {}^{x}a\approx a^{x}}
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
x
a
≈ ≈ -->
a
a
x
− − -->
1
{\displaystyle {}^{x}a\approx a^{a^{x-1}}}
1
<
x
<
2
{\displaystyle 1<x<2}
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle \vdots }
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle \vdots }
と以下続く。但しこの微分可能性はあくまで区分的なものである。整数 x を境に微分係数が ln a 倍されるため、（a = e x において微分不可能となる。
以下は値の計算例である。
π π -->
/
2
e
≈ ≈ -->
5.868...
− − -->
4.3
0.5
≈ ≈ -->
4.03335...
− − -->
5.264
0.6
≈ ≈ -->
− − -->
5.35997...
3.1
0.7
≈ ≈ -->
0.7580...
{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{\pi /2}e&\approx 5.868...\\{}^{-4.3}{0.5}&\approx 4.03335...\\{}^{-5.264}{0.6}&\approx -5.35997...\\{}^{3.1}{0.7}&\approx 0.7580...\end{aligned}}}
Ultra exponential function
フーシュマンドは ultra exponential function という関数を導入した[ 13] uxpa x ) と表記される。 uxpa は、次の定理によって一意に定められる。
証明は、三番目から五番目の条件より f [−1, 0] で線型となることから従う。
フーシュマンドはさらに次のような一意性定理を導いた。
証明は先とほぼ同様である。漸化式より
lim
x
→ → -->
− − -->
1
+
0
f
′
(
x
)
=
lim
x
→ → -->
+
0
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to -1+0}f'(x)=\lim _{x\to +0}f'(x)}
f (−1, 0) で線型となることから従う。
定理より、 x >−1f (x ) = exp (f (x −1))f (0) = 1(−1, +∞) で下に凸であるような関数 f uxp のみである。f (−1, 0) で極値 を持つ必要がある。
x a a = 4, e , 2, 1.5, 0.5（微分可能性についての）二次近似は次のように与えられる。
x
a
≈ ≈ -->
{
log
a
-->
(
x
+
1
a
)
x
≤ ≤ -->
− − -->
1
1
+
2
ln
-->
(
a
)
1
+
ln
-->
(
a
)
x
− − -->
1
− − -->
ln
-->
(
a
)
1
+
ln
-->
(
a
)
x
2
− − -->
1
<
x
≤ ≤ -->
0
a
(
x
− − -->
1
a
)
0
<
x
{\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}
これは任意の x > 0a = e
三次近似および高次への一般化は次のように与えられる[ 14]
複素平面上にテトレーション
f
=
F
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle f=F(x+iy)}
|
f
|
=
1
,
e
± ± -->
1
,
e
± ± -->
2
,
… … -->
{\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }
arg
-->
(
f
)
=
0
,
± ± -->
1
,
± ± -->
2
,
… … -->
{\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }
次の条件を満たす関数 F [ 15]
F (z + 1) = exp (F (x ))F (0) = 1z →±i ∞F (z )不動点 （およそ 0.318 ± 1.337i ）に近づく実数 z < −2正則 この関数 F e ではない場合についても、底が
e
1
/
e
{\displaystyle e^{1/e}}
倍精度浮動小数点数 近似はオンラインで公開されている[ 16]
テトレーションを一意に定めるためには正則性 の条件が重要となる。いま、関数 F S
A
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
sin
-->
(
2
π π -->
n
z
)
α α -->
n
B
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
1
− − -->
cos
-->
(
2
π π -->
n
z
)
)
β β -->
n
S
(
z
)
=
F
(
z
+
A
(
z
)
+
B
(
z
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)\alpha _{n}\\B(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1-\cos(2\pi nz){\bigr )}\beta _{n}\\S(z)&=F\left(z+A(z)+B(z)\right)\end{aligned}}}
ここで α n β n A (z )B (z )
この関数 S F S (z + 1) = exp (S (z ))S (0) = 1α n β n 0 に近づくとき、S 解析的 となる。しかし α n β n 0 でない場合、S sin (z ) 、 cos (z ) が虚軸に沿って指数関数的に増大するためである。これらの特異点は α n β n S α n β n 0 となる、即ち S = F
実解析 上のテトレーションは一意的に定まらないので、複素平面への拡張は一意性に必要である。
n π n e n 4 π (≈222 455 390 617 769 723 931 713 × 10666262 452 970 848 503 [要出典 。与えられた自然数
n
{\displaystyle n}
q
∈ ∈ -->
Q
∩ ∩ -->
(
(
0
,
∞ ∞ -->
)
∖ ∖ -->
Z
)
{\displaystyle q\in \mathbb {Q} \cap \left(\left(0,\infty \right)\setminus \mathbb {Z} \right)}
n
q
{\displaystyle ^{n}q}
[ 17] 4 x = 2x [要出典 。
冪 は冪根 と対数 の二つの逆関係 を持つ。これに倣って、以下テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根（英 : super-root ）と超対数 （英語 : super-logarithm
超冪根はテトレーションの底に関する逆関係である。
y = √ x s 超平方根（英 : super square root ）は 2 x ssrt(x ) , √ x s
この関数は次のようなランベルトのW関数 による表示を持つ。[ 18]
s
s
r
t
(
x
)
=
e
W
(
l
n
(
x
)
)
=
l
n
(
x
)
W
(
l
n
(
x
)
)
{\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}}
またこの関数により、冪根と対数の間の鏡映的な関係が表れる。次の方程式は y = ssrt x
x
y
=
log
y
-->
x
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}
平方根 と同様に超平方根は一つとは限らない。ただし、平方根と異なり超平方根の個数を決定するのは容易とは言えない。一般に、e −1/e < x < 1x 1 < x のとき x 0 < x < e −1/e のとき x x (≠ 1) は可算無限個の超平方根を複素数 の範囲で持つことが従う。[ 18]
超平方根はネットワークのクラスタサイズを決定するのに使用される。[ 19]
任意の整数 n > 2n x x ≥ 1n x ≥ 1n √ x s −1 < y ≤ 0 のとき y x x y + 1x = y √ y + 1s
超平方根のほか n n √ x s
超冪根は高さが無限大の場合へと拡張することができ、これは 1/e ≤ x ≤ e の場合に限り問題なく定義される（#高さが無限大 を参照）。∞ x ∞ x = x ∞ x ∞ √ x s x 1/x ∞ √ 2 s 1/2 = √ 2
n ゲルフォント＝シュナイダーの定理 より、超平方根 √ n s 3 √ n s
超対数はテトレーションの高さに関する逆関係である。
テトレーション x a x に関して連続的に増加するものとして定義すると、任意の実数 x sloga x (a > 1) が定義される。
この関数 sloga x は以下の式を満たす。
slog
a
-->
x
a
=
x
slog
a
-->
a
x
=
1
+
slog
a
-->
x
slog
a
-->
x
=
1
+
slog
a
-->
log
a
-->
x
slog
a
-->
x
>
− − -->
2
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=&x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=&1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=&1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&>&-2\end{array}}}
テトレーションは
a
↑ ↑ -->
2
b
↑ ↑ -->
2
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
⋅ ⋅ -->
↑ ↑ -->
2
z
{\displaystyle a\uparrow ^{2}b\uparrow ^{2}\cdot \cdot \cdot \uparrow ^{2}z}
a
↑ ↑ -->
3
b
{\displaystyle a\uparrow ^{3}b}
同じようにヘキセーションも定義できる(
a
↑ ↑ -->
4
b
{\displaystyle a\uparrow ^{4}b}
クヌースの矢印表記 ができる。
またテトレーションはハイパーE表記 で
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->
x
=
E
(
a
)
a
# # -->
x
{\displaystyle a\uparrow \uparrow x=E(a)a\#x}
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^ Maurer, Hans (1901). “Über die Funktion
y
=
x
[
x
[
x
(
⋯ ⋯ -->
)
]
]
{\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}
Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4 : 33–50. ^ Knoebel, R. Arthur (1981). “Exponentials Reiterated” . The American Mathematical Monthly 88 (4): 235–252. doi :10.2307/2320546 . ISSN 0002-9890 . https://www.jstor.org/stable/2320546 . ^ Hooshmand, M. H. (2006-08-01). “Ultra power and ultra exponential functions” . Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. doi :10.1080/10652460500422247 . ISSN 1065-2469 . https://doi.org/10.1080/10652460500422247 . ^ “Exploding Array Function ”. Jonathan Bowers. 2021年7月30日 閲覧。 ^ Daniel B. Shapiro and S. David Shapiro (2007). “Iterated Exponents in Number Theory” (pdf). Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7 (A23). http://math.colgate.edu/~integers/h23/h23.pdf 2021年7月30日 閲覧。 ^ Jekusiel Ginsburg (1945). “Iterated Exponentials” (pdf). Scripa Mathematica 11 : 340–353. https://oeis.org/A000405/a000405.pdf 2021年7月30日 閲覧。 ^ Ioannis Galidakis. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals [リンク切れ
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F
(
z
+
1
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=
b
F
(
z
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{\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}}
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![{\displaystyle {}^{n}a:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92358f7f10a6e5d945bee8fc4a413d5af320a5c)
![{\displaystyle a[4]n,H_{4}(a,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84ce4c85271046e9b3e5cee6a3ec77f09885cce)
![{\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{\lbrace {x}\rbrace }\right)=\exp _{a}^{[x+1]}\left(\lbrace {x}\rbrace \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1c3d15069338e81667ec566e62a035c6f9a387)
![{\displaystyle [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
![{\displaystyle \lbrace {x}\rbrace =x-[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967e8641a2a695a5a46c3089b4337d3b10fc0d2f)
.png)
![{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d71585c84cda67f69928d975bd8d1f012355543)
![{\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab69cf15b7afca0a5f9cc89da314bbb89b61a749)
