この項目では、学問分野の算術について説明しています。ディオファントスが著した数学書については「算術 (書物) 」をご覧ください。
子供の算術書(Lausanne, 1835) 算術 (さんじゅつ、英 : arithmetic 数 の概念や数の演算 を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。
「算術」という日本語としては、文明開化前後の「数学 」(mathematics) いわゆる西洋数学の本格的な輸入以前は、今日において和算 と呼ばれているような、当時の「日本の数学」全般を指していた。なおこの意味では、英語 arithmetic とは必ずしも対応しない場合もある。
また、算術および "Arithmetic " の語は、数論 を指し示す場合もある。
加法 (addition) 、減法 (subtraction) 、乗法 (multiplication) 、除法 (division) の4つの演算を、四則 （しそく）あるいは四則演算 （英 : Four arithmetic operations ）と称する。
歴史的には四則演算を表す記号として、様々な記号が用いられたが、現在標準的に用いられる記号は以下である。
ただし、コンピュータにおけるプログラミング言語 では専ら
減法には-（U+002D）-マイナス記号 −（U+2212）ではなくハイフンマイナス
乗法には*（U+002A）
除法には/（U+002F） が用いられる。
このうち、加法と乗法は 0 を含む非負 の整数 の範囲で自由に行うことができるが、減法と除法には制約がある。非負整数の間の減法は、引く数が引かれる数より大きい場合を扱うことができない。また非負整数の除法は、適切な剰余 を定義しない限り、割る数が割られる数の約数 でない場合を扱うことができない。減法の場合は扱う数を負の数を含んだ整数 全体に捉え直すことで制限を解消することができる。たとえば 1 − 2 は非負整数を与えないが、整数全体で演算を扱うなら、
1 − 2 = −1 と負の数を与えることができる。
除法については扱う数を有理数 の範囲にすることで互いに素 な整数の間でも演算を定義できる。たとえば −4 ÷ 3 は整数を与えないが、
−4 ÷ 3 = −4 / 3 のように有理数を与える（−4 / 3 分数 と呼ぶ）。従って、正負の有理数と 0 の数を扱うことで、自由な四則演算が可能になる。ただし、通常は除数を 0 とする除法は定義されない（ゼロ除算 を参照）。
四則演算を特徴付ける性質には、交換法則 ・結合法則 ・分配法則 などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体 という。有理数の全体、実数 の全体、複素数 の全体などは全て体である。
除法は乗法の逆の演算になっている; a × b = c a ≠ 0b ≠ 0c ≠ 0a = c / b c ÷ b , b = c / a c ÷ a a × b = 1逆元 b を a の逆数 1 / a
a × 1 / a 1 / a a = 1.従って除法は除数の逆数に関する乗法に置き換えられる。
a ÷ b = a × 1 / b 減法は加法の逆の演算になっている; a + b = c a = c − b , b = c − a a + b = 0加法の逆元 b を考えることに導かれる。a の逆元 b は −a と表される（これは a の反数 と呼ばれる）。つまり次のような関係が常に成り立つ。
a + (−a ) = (−a ) + a = 0.数 a が正ならば −a は負の数であり、a が負ならば −a は正の数となる。また、a が 0 なら −a もまた 0 となる。
従って正の数の減法は負の数の加法に、負の数の減法は正の数の加法に置き換えられる。
a − b = a + (−b ).加法の逆元を与える演算子としての − と、2 数の間の減法を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator) 、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。
コンピュータ の用語として、論理和 や論理積 など、ブール値やビットを扱う「論理演算 」に対して、整数の加減乗除を扱う演算を「算術演算」と呼ぶ。
また、右シフト操作において、その操作で空くビットに、最上位ビットを複製して埋めるシフトを算術シフト 論理シフト (signed) のシフトと、符号無し (unsigned) のシフト、と呼ぶのが理にかなっている（符号付数値表現#2の補数 ）。
