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In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi L^p.

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.^[1]

La disuguaglianza

Sia $\Omega$ uno spazio di misura con misura $\mu$ e $p\geq 1$ . Sia $p'\geq 1$ l'esponente coniugato di $p$ , ovvero quel numero tale che

{1 \over p}+{1 \over p'}=1

o equivalentemente tale che

p+p'=pp'

Si definisce inoltre $p'=\infty$ se $p=1$ .

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili $f\in L^{p}(\Omega )$ e $g\in L^{p'}(\Omega )$ , si ha che $fg\in L^{1}(\Omega )$ e:^[2]

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}

Esplicitando la norma p-esima nel caso $p>1$ si ottiene la scrittura

\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq \left[\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{\Omega }|g|^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per $p=p'=2$ . Il numero $p'$ è anche detto coniugato di Hölder di $p$ .

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti $a$ e $b$ , non entrambe nulle, tali che:

a|f|^{p}=b|g|^{p'}

quasi ovunque in $\Omega$ .

Dimostrazione

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio $\|f\|_{p}$ ) è zero, allora vuol dire che $f=0$ quasi ovunque; dunque anche $fg=0$ quasi ovunque e quindi $\|fg\|_{1}=0$ e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio $p$ ) è $+\infty$ , allora è $p'=1$ e:

|fg|\leq \|f\|_{\infty }|g|

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

{\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\cdot {\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {1}{p}}\left({\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}+{\frac {1}{p'}}\left({\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\right)^{p'}

per quasi ogni $x\in \Omega$ . Integrando entrambi i membri si ottiene:

{\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\int _{\Omega }|fg|d\mu ={\frac {\|fg\|_{1}}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {\|g\|_{p'}^{p'}}{p'\|g\|_{p'}^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1

Disuguaglianza di Hölder per numeri reali

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ , la disuguaglianza prende la seguente forma:

\sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}

Dimostrazione alternativa

Posti:

a_{i}={\frac {|x_{i}|}{\left(\sum |x_{j}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}

e:

b_{i}={\frac {|y_{i}|}{\left(\sum |y_{j}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}}

la disuguaglianza è:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq 1

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

\ln(a_{i}b_{i})={\frac {1}{p}}\ln \left(a_{i}^{p}\right)+{\frac {1}{p'}}\ln \left(b_{i}^{p'}\right)\leq \ln \left({\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}\right)

quindi per monotonia:

a_{i}b_{i}\leq {\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}.

Sommando sull'indice $i,$ poiché $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}=1$ e $\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p'}=1$ , si ottiene la tesi.

Generalizzazione

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano $f_{1},\dots ,f_{k}$ tali che $f_{i}\in L^{p_{i}}$ , con:

{\frac {1}{p}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\leq 1

Allora:

f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}\in L^{p}

e si ha:

\|f\|_{p}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\|f_{2}\|_{p_{2}}\dots \|f_{k}\|_{p_{k}}

Generalizzazione nei numeri reali

Siano $(a_{11},\ldots ,a_{1n}),(a_{21},\ldots ,a_{2n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn})$ m n-uple di numeri reali e siano $p_{1},\ldots ,p_{m}$ dei reali tali che:

{\frac {1}{p_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{p_{m}}}=1

Allora:

\left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\cdot \ldots \cdot a_{mi}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}^{p_{1}}\right)^{\frac {1}{p_{1}}}\cdot \ldots \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{mi}^{p_{m}}\right)^{\frac {1}{p_{m}}}

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi $L^{p}$ , la disuguaglianza di interpolazione. Se:

f\in L^{p}\cap L^{q}

allora $f\in L^{r}$ per ogni $p\leq r\leq q$ e:

\|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{\alpha }\|f\|_{q}^{1-\alpha }

con $\alpha \in [0,1]$ tale che:

{\frac {1}{r}}={\frac {\alpha }{p}}+{\frac {1-\alpha }{q}}

Note

^ (EN) Leonard James Rogers in The MacTutor History of Mathematics, su www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. URL consultato il 19 giugno 2013.
^ W. Rudin, Pag. 62.

Bibliografia

Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) L.P. Kuptsov, Hölder inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) Kenneth Kuttler, An Introduction to Linear Algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007. URL consultato il 14 agosto 2013 (archiviato dall'url originale il 7 agosto 2008).
(EN) Arthur Lohwater, Introduction to Inequalities (PDF), 1982.