Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Siano ${\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ due funzioni reali di variabile reale continue in ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabili in ${\displaystyle (a,b)}$.

Allora esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$ tale che

${\displaystyle [g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).}$^[1]

Si noti che se ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$ (e dunque in particolare ${\displaystyle g(b)\neq g(a)}$), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Si consideri la funzione ${\displaystyle h}$ di variabile reale definita nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ come

${\displaystyle h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad }$

Questa funzione è continua nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabile in ${\displaystyle (a,b)}$, e

${\displaystyle h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).}$

${\displaystyle h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).}$

Da cui ${\displaystyle h(a)=h(b)}$.

La funzione ${\displaystyle h}$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$ in cui ${\displaystyle h'(c)=0}$, cioè

${\displaystyle [f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.}$

• Considerando in particolare la funzione ${\displaystyle g(t)=t}$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
• Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

• Derivata
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath

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