In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo n {\displaystyle n} si ha:
dove n ! {\displaystyle n!} denota il fattoriale di n , {\displaystyle n,} cioè il prodotto dei numeri interi da 1 {\displaystyle 1} a n {\displaystyle n} : n ! = 1 ⋅ ⋅ --> 2 ⋅ ⋅ --> 3 ⋯ ⋯ --> n {\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n} .
La notazione Γ Γ --> ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso z {\displaystyle z} è positiva, allora l'integrale
converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della Γ Γ --> {\displaystyle \Gamma } a tutti i numeri complessi z {\displaystyle z} , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:
per cui si ha:
In questo modo, la definizione della Γ Γ --> {\displaystyle \Gamma } può essere estesa dal semipiano R e ( z ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0} a quello R e ( z ) > − − --> 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} (ad eccezione del polo in z = 0 {\displaystyle z=0} ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in z = 0 , − − --> 1 , − − --> 2 , … … --> {\displaystyle z=0,-1,-2,\dots } ).
Siccome Γ Γ --> ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali n {\displaystyle n} , che:
In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:
che si ottiene ponendo x 2 2 = t {\textstyle {\frac {x^{2}}{2}}=t} , e quindi x = 2 t {\displaystyle x={\sqrt {2t}}} , ottenendo quindi d x = 2 2 t d t {\textstyle dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt}
Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):
dovuta a Gauss,
dove γ γ --> {\displaystyle \gamma } è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione 1 Γ Γ --> ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}
Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:
In questa formula sono espliciti i poli di ordine 1 {\displaystyle 1} e residuo ( − − --> 1 ) n n ! {\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}} che la funzione Gamma ha in z = − − --> n {\displaystyle z=-n} , per ogni n {\displaystyle n} intero non negativo.
La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti
dove è stato fatto uso della relazione Γ Γ --> ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} .
Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:
e quella di duplicazione:
che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:
la quale per z = 0 {\displaystyle z=0} diventa:
Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica ∏ ∏ --> k = 1 m − − --> 1 sin --> k π π --> m = m 2 m − − --> 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}} .
Le derivate della funzione Gamma:
possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:
dove ψ ψ --> 0 {\displaystyle \psi _{0}} è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,
dove γ γ --> {\displaystyle \gamma } è la costante di Eulero-Mascheroni.
Si ha, inoltre:
che per z = m {\displaystyle z=m} intero positivo si riduce ad una somma finita
dove H m − − --> 1 {\displaystyle H_{m-1}} è l'(m-1)-esimo numero armonico.
Derivando membro a membro rispetto a z {\displaystyle z} si ha, ancora,
che per z = 0 {\displaystyle z=0} diverge, mentre per z = 1 {\displaystyle z=1} diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2
Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.
Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine m {\displaystyle m} è definita nel modo seguente:
Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:
che si può trovare ponendo z = 1 2 {\displaystyle z={\frac {1}{2}}} nella formula di riflessione.
Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
dove n ! ! {\displaystyle n!!} denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.
Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.
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