In matematica, la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.

La funzione integrale esponenziale ${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)}$ viene definita come:

${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x):=-\int _{-x}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t}$

Dato che ${\displaystyle 1/t}$ diverge per ${\displaystyle t\to 0}$, il precedente integrale si deve intendere come valore principale di Cauchy:

${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\lim _{\delta \to 0}\left[\int _{-\infty }^{-\delta }{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t\right]}$

L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare.

Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }$

che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:

${\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x)}$

Si ha inoltre che per valori positivi di ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0}$

L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica, definibile come:

${\displaystyle {\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x))}$

per tutti gli ${\displaystyle x}$ reali positivi diversi da ${\displaystyle 1}$.

Integrando lo sviluppo di Taylor di ${\displaystyle e^{-t}/t}$ si può derivare il seguente sviluppo in serie per ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!k}}\qquad x\neq 0}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ denota la costante di Eulero-Mascheroni. Per argomenti complessi si generalizza con:

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!k}}\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi }$

Tale somma converge per ogni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Una serie che converge più velocemente si deve a Ramanujan:

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando ${\displaystyle ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)}$ per parti:

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}}$

che ha un errore dell'ordine di ${\displaystyle O(N!z^{-N})}$ ed è valida per grandi valori di ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$.

Dalle serie precedenti si evince che ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} }$ si comporta come un esponenziale negativo per grandi valori dell'argomento, e come un logaritmo per valori piccoli. Quando l'argomento è reale e positivo si ha:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)<e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

come mostrato nel grafico a lato.

Sia ${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)}$ che la funzione ${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)}$ possono essere espresse mediante una funzione intera:

${\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}}$

Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi }$

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0}$

Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt}$

che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta:

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)}$

• (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, (Chapter 5)
• (EN) Carl M. Bender e Steven A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers, McGraw–Hill, 1978, ISBN 0-07-004452-X.
• (EN) Norman Bleistein e Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986, ISBN 0-486-65082-0.
• (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 566–568, 1985.
• (EN) Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423–428, 2003.
• (EN) Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000.
• (EN) Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105–106, 2003.

• Funzione speciale
• Funzione gamma incompleta
• Funzioni integrali trigonometriche
• Logaritmo integrale

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione integrale esponenziale

• (EN) A.B. Ivanov, Integral exponential function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione integrale esponenziale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) NIST documentation on the Generalized Exponential Integral, su dlmf.nist.gov.

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