Il logaritmo integrale, detto anche funzione logaritmica integrale, iperlogaritmo o logologaritmo, è una funzione matematica molto utile nella teoria analitica dei numeri.

Per ${\displaystyle x\neq 1}$ esso è definito come:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln(y)}}\,dy,}$

dove ${\displaystyle \ln(x)}$ è il logaritmo naturale di ${\displaystyle x}$ e con l'integrale si intende il valore principale:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dy}{\ln(y)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}\right).}$

La funzione ${\displaystyle {\rm {li}}(x)}$ ha un solo zero positivo, che si presenta per ${\displaystyle x\approx 1,4513692348\dots }$; tale numero è noto come costante di Ramanujan-Soldner.

Spesso si usa perciò, per evitare la singolarità nel dominio di integrazione, la versione:

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li(2)}}=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(y)}}\,dy.}$

Il logaritmo integrale è strettamente collegato alla funzione integrale esponenziale ${\displaystyle {\mbox{Ei}}:}$

${\displaystyle {\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x)),}$

per tutti gli ${\displaystyle x}$ reali positivi diversi da 1. Questa relazione fornisce una rappresentazione in serie del logaritmo integrale:

${\displaystyle {\rm {li}}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!},\quad {\text{per }}u\neq 0,}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ denota la costante di Eulero-Mascheroni.

Il logaritmo integrale ha un ruolo molto importante nella teoria dei numeri; infatti, il teorema dei numeri primi afferma che:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\rm {Li}}(x),}$

dove ${\displaystyle \pi (x)}$ è la funzione enumerativa dei primi, ovvero la funzione che indica il numero di numeri primi minori di ${\displaystyle x}$. In pratica la formula può essere usata per avere una buona approssimazione del numero di primi inferiori o uguali a ${\displaystyle x}$. Il valore di ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)}$ rimane superiore a ${\displaystyle \pi (x)}$ fino a numeri estremamente grandi, tanto che molti matematici pensavano che dovesse rimanere sempre superiore. Nel 1914 però Littlewood dimostrò che la differenza ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)-\pi (x)}$, pur rimanendo positiva fino a numeri estremamente grandi, in seguito cambia di segno infinite volte, per cui esistono infiniti valori di ${\displaystyle x}$ per i quali ${\displaystyle \pi (x)}$ è maggiore di ${\displaystyle {\rm {Li}}(x).}$

Nel 1933 il matematico sudafricano Stanley Skewes dimostrò un limite superiore per il più piccolo di tali valori. Assumendo che l'ipotesi di Riemann sia vera, egli valutò tale limite in circa ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$. In seguito questo limite, immensamente grande, è stato notevolmente abbassato, e attualmente è di 1,39×10³¹⁶ (C. Bay & R.H. Hudson, 2000).^[1]

Il comportamento asintotico per ${\displaystyle x\to +\infty }$ è:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right),}$

dove ${\displaystyle O}$ è la notazione O-grande. L'espansione completa ha la forma:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}},}$

o equivalentemente:

${\displaystyle {\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Si tratta di una serie divergente, che rappresenta una buona approssimazione solo se viene troncata, ed è utilizzata per grandi valori di ${\displaystyle x.}$ Segue direttamente dall'espansione dell'integrale esponenziale.

• (EN) M. Abramowitz e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9ª ed., New York, Dover, 1972, p. 879.
• (EN) B.C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Part IV, New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 126–131.
• (EN) T.J. Bromwich e T.M. MacRobert, An Introduction to the Theory of Infinite Series, 3ª ed., New York, Chelsea, 1991, p. 334.

• Costante di Ramanujan-Soldner
• Funzione integrale esponenziale
• Funzioni integrali trigonometriche
• Numero di Skewes

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul logaritmo integrale

• (EN) Eric W. Weisstein, Logaritmo integrale, su MathWorld, Wolfram Research.
• Intro alle funzioni integralesponenziale e log integrale, su scienzematematiche.it. URL consultato l'11 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 17 ottobre 2014).

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica