Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.
È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni a , c {\displaystyle a,c} che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione b {\displaystyle b} ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di a {\displaystyle a} e c {\displaystyle c} ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.
Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}} e { c n } {\displaystyle \{c_{n}\}} sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per n {\displaystyle n} sufficientemente grande)
e se si ha
allora anche
Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni ε ε --> > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esistono N , N ′ {\displaystyle N,N'} tali che:
Quindi per ogni n {\displaystyle n} maggiore di M = max { N , N ′ } {\displaystyle M=\max\{N,N'\}} si ottiene:
Quindi per ogni ε ε --> > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esiste un M {\displaystyle M} tale che:
In altre parole, la successione b n {\displaystyle b_{n}} tende a l {\displaystyle l} .
La successione:
è "stretta" fra le successioni:
poiché
implica
per ogni n {\displaystyle n} . Entrambe a n {\displaystyle a_{n}} e c n {\displaystyle c_{n}} sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche b n {\displaystyle b_{n}} è infinitesima.
Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}} sono due successioni tali che:
per ogni n {\displaystyle n} , e se
Oppure se
Per ipotesi lim n → → --> + ∞ ∞ --> a n = + ∞ ∞ --> {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty } e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni M > 0 {\displaystyle M>0} esiste un numero naturale N {\displaystyle N} tale che a n > M {\displaystyle a_{n}>M} per ogni n > N {\displaystyle n>N} .
Dato che b n ≥ ≥ --> a n {\displaystyle b_{n}\geq a_{n}} per ogni n {\displaystyle n} si ottiene che:
Quindi:
Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni f , g , h : : --> X → → --> R {\displaystyle f,g,h\colon X\to \mathbb {R} } definite su un dominio X {\displaystyle X} di R {\displaystyle \mathbb {R} } , e dato un punto di accumulazione x 0 {\displaystyle x_{0}} per X {\displaystyle X} , se:
ed esiste un intorno U {\displaystyle U} di x 0 {\displaystyle x_{0}} tale che
allora
Per la definizione di limite, per ogni ε ε --> > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esistono due intorni U 1 {\displaystyle U_{1}} e U 2 {\displaystyle U_{2}} di x 0 {\displaystyle x_{0}} tali che:
Quindi
Quindi per ogni ε ε --> > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esiste un intorno U 1 ∩ ∩ --> U 2 ∩ ∩ --> U {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap U} tale che
In altre parole:
Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:
Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia 0 < x < π π --> / 2 {\displaystyle 0<x<\pi /2} la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.
Allora
Ne segue che
da cui, dividendo per sin --> x {\displaystyle \sin x}
prendendo i reciproci
sapendo che la disuguaglianza non cambia per − − --> x {\displaystyle -x} e che
sfruttando il teorema del confronto si ottiene:
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