Aksel er fæddur í Klakksvík, sonur lögþingsmannsins Vilhelms Johannesen. Hann lauk lögfræðiprófi árið 2004 og hefur stundað lögmannsstörf frá 2007. Hann varð fyrsti varalögþingsmaður Jafnaðarflokksins eftir kosningarnar 2008 og tók oft sæti á Lögþinginu. Þann 16. júlí 2009 varð hann heilbrigðisráðherra og í febrúar 2011 tók hann við starfi fjármálaráðherra þegar Jóannes Eidesgaard lét af embætti og hætti þátttöku í stjórnmálum. Þann 6. mars 2011 var hann kjörinn formaður Jafnaðarflokksins í stað Jóannesar Eidesgaard og skömmu síðar varð hann varalögmaður.
