משפט הסדר הטוב

משפט הסדר הטוב הוא משפט בתורת הקבוצות, הקובע שאפשר לסדר כל קבוצה בסדר טוב. משפט זה אינו נובע ממערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אלא הוא שקול לאקסיומת הבחירה, וכן גם ללמה של צורן. את המשפט הוכיח ארנסט צרמלו, בהסתמך על אקסיומת הבחירה, ולכן הוא קרוי גם משפט צרמלו.

חשיבותו של סדר טוב על קבוצה הוא בכך שהוא מאפשר לבצע אינדוקציה טרנספיניטית. המשפט אינו מתאר את הסדר שאפשר להגדיר על קבוצה, אלא רק קובע שקיים כזה, משום שעל קבוצות מסוימות (כמו קבוצת המספרים הממשיים) אי אפשר להגדיר סדר טוב בלי להשתמש גרסאות מסוימות של אקסיומת הבחירה, שאינן קונסטרוקטיביות.

אף על פי שנהוג לקרוא לאקסיומת הבחירה "אקסיומה", ולמשפט הסדר הטוב "משפט", מבחינה לוגית, כיוון שהם שקולים, אין מניעה להחליף ולקרוא למשפט הסדר הטוב "אקסיומה" ולאקסיומת הבחירה "משפט". כיוון שאקסיומות אמורות להיות אמיתות הברורות מאליהן, ואקסיומת הבחירה נחשבת כזו ואילו משפט הסדר הטוב לא, קוראים להם כך. עם זאת, הרבה יותר קל לנסח את משפט הסדר הטוב בלוגיקה מסדר ראשון מאשר את אקסיומת הבחירה, על כן פעמים רבות נוח יותר להתייחס אליו כאקסיומה. משום כך הוא מכונה לפעמים "אקסיומת הסדר הטוב".

נוסח המשפט

משפט הסדר הטוב. על כל קבוצה קיים יחס סדר מלא , כך שבכל תת-קבוצה לא ריקה קיים איבר , כך שלכל מתקיים . במילים אחרות, לכל תת-קבוצה של A יש איבר מינימלי. יחס סדר המקיים את התנאי הנ"ל נקרא סדר טוב.

יש לשים לב כי הסדר אינו בהכרח הסדר הטבעי המוגדר על הקבוצה A. למשל הסדר הרגיל של קבוצת המספרים השלמים אינו סדר טוב (למשל אין מספר שלם מינימלי). עם זאת, אם נגדיר סדרה , אז הסדר המוגדר כך ש- אם a בא לפני b בסדרה, הוא סדר טוב על קבוצת המספרים השלמים.

היסטוריה

אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, קבע ב-1883 שמשפט הסדר הטוב נכון כ-“fundamental law of thought”. מכיוון שלתורת הקבוצות של קנטור לא היה בסיס אקסיומטי מוצק, הוכחה או הפרכה פורמלית של המשפט לא הייתה בגדר האפשר. מתמטיקאים רבים חלקו על קנטור, שכן התקשו לקבל קיום של סדר טוב על קבוצות מסובכות, כגון קבוצת המספרים הממשיים.

באוגוסט 1904 המתמטיקאי ההונגרי דיולה קניג הכריז כי הפריך את משפט הסדר הטוב. הוא סבר שקבוצת המספרים הממשיים היא דוגמה נגדית. טיעונו היה כדלקמן:

בכל שפה שהיא (ובשפה פורמלית בפרט) עם אלפבית בן מנייה, יש רק מספר בן מנייה של תאורים סופיים אפשריים באמצעות השפה. מכיוון שיש מספר לא בן-מנייה של מספרים ממשיים, בהכרח יש מספרים שאין שום דרך לתאר אותן באופן סופי (למעשה כמעט כל המספרים הם כאלה). מספרים כאלה קרויים מספרים לא גדירים. נניח בשלילה שקיים סדר טוב P על המספרים הממשיים. אז לקבוצת המספרים הלא גדירים יש איבר מינימלי (לפי P). את האיבר הזה ניתן לתאר כ"האיבר הקטן ביותר לפי P שאינו גדיר", בסתירה לכך שזהו מספר לא גדיר שאינו ניתן לתיאור (ראו הפרדוקס של ברי).

הטעות של קניג נתגלתה במהרה. הוא מניח שהסדר P עצמו ניתן לתיאור. ואכן הוכחתו של קניג מראה שאין שום דרך סופית לתאר סדר שכזה. אבל עדיין תיתכן האפשרות שסדר שכזה קיים בלי שתהיה דרך לתאר אותו, ואז גם לא ניתן לתאר איבר באמצעותו. מתקפה נוספת של קניג על משפט הסדר הטוב והשערת הרצף הופרכה גם היא.

כמה שבועות אחר כך, בספטמבר 1904, שלח ארנסט צרמלו מכתב לדייוויד הילברט שכלל הוכחה ראשונה למשפט הסדר הטוב. צרמלו התבסס בהוכחתו על "עקרון לוגי" ש"לא ניתן לצמצמו לעקרון לוגי פשוט יותר, אבל משמש כל הזמן במתמטיקה ללא היסוס". לימים נודע העיקרון הזה כאקסיומת הבחירה. ההוכחה של צרמלו עוררה מחלוקת עזה בקרב קהילת המתמטיקאים. בין המתנגדים נמנו אמיל בורל, אנרי פואנקרה, ארתור מוריץ שנפליס, דיולה קניג ופליקס ברנשטיין.

ב-1908 צרמלו ניסח מחדש את ההוכחה ואת אקסיומת הבחירה במטרה להימנע מהנקודות השנויות במחלוקת. עם התרחבות ההכרה בנחיצותה של אקסיומת הבחירה בתחומי מתמטיקה רבים, פחתו כיסי ההתנגדות. ההתייחסות המודרנית למשפט הסדר הטוב זהה להתייחסות לאקסיומת הבחירה. לאחר שקורט גדל ופול כהן הוכיחו כי האקסיומה עצמאית ביחס לאקסיומות ZF, הוכרה האפשרות שניתן לעסוק במקביל הן במתמטיקה בה האקסיומה נכונה והן במתמטיקה שבה היא שגויה.

הוכחה

יש שתי הוכחות מקובלות למשפט הסדר הטוב. האחת עושה שימוש ישיר באקסיומת הבחירה והאחרת בלמה של צורן השקולה לה. נביא את ההוכחה הראשונה:

תהא קבוצה. נסמן ב- את קבוצת החזקה של A, ללא הקבוצה הריקה. לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה המתאימה לכל איבר . נגדיר באינדוקציה טרנספיניטית פונקציה הפועלת על מספרים סודרים:

נשים לב כי ייתכן ש- אינה מוגדרת בשני מקרים: מקרה ראשון, אם , אז שאינו מוגדר. ומקרה שני אם קיים כך ש- אינו מוגדר.

על אותם סודרים ש- מוגדרת עליהם, פונקציה חד-חד-ערכית: אם אז ולכן פונקציית הבחירה לא יכולה לבחור את כערך ל-.

לא ייתכן ש- מוגדרת לכל סודר, כי אז (הקיימת לפי החד-חד-ערכיות) היא פונקציה מהקבוצה למחלקת כל הסודרים, לכן (לפי אקסיומת ההחלפה) מחלקת כל הסודרים היא קבוצה, בסתירה לפרדוקס בורלי-פורטי. מכאן שיש סודרים ש- אינה מוגדרת לגביהם. הסודרים סדורים היטב ולכן יש סודר מינימלי כך ש- אינו מוגדר. מכיוון שלא קיים סודר קטן מ- שהפונקציה אינה מוגדרת עליו, בהכרח הסיבה ש- אינו מוגדר היא ש-.

לכן התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ל-, ואת A ניתן לסדר בסדר טוב לפי אם ורק אם (במילים אחרות מגדירים את הסדר כך ש- היא איזומורפיזם סדר).

שקילות לאקסיומת הבחירה

במסגרת אקסיומות ZF משפט הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה. כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני. ההוכחה של אקסיומת הבחירה תחת הנחת משפט הסדר הטוב פשוטה:

תהי משפחה של קבוצות. נסמן ב- את איחוד כל הקבוצות ב-. לפי משפט הסדר הטוב קיים סדר טוב על . כעת נגדיר את להיות הפונקציה המתאימה לכל קבוצה ב- את האיבר המינימלי שלה לפי כתת-קבוצה של . זוהי פונקציית בחירה על כנדרש באקסיומת הבחירה.

שימושים

מסקנה מיידית ממשפט הסדר הטוב היא שכל קבוצה שקולה לסודר כלשהו (מכיוון שכל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר). הדבר מאפשר להגדיר עוצמה של קבוצה באופן פורמלי כסודר המינימלי השקול לה. נובע מכך שניתן להשוות בין כל שתי עוצמות (כלומר או שהן שוות או שאחת גדולה מהשנייה). טענה זו שקולה גם היא לאקסיומת הבחירה.

במרבית השימושים של משפט הסדר הטוב הוא הוחלף בלמה של צורן, לאחר שזו נתגלתה כנוחה ופשוטה יותר לשימוש.

אחד הראשונים להשתמש במשפט הסדר הטוב היה גאורג המל שהשתמש בו כדי לתאר את כל הפתרונות למשוואה הפונקציונלית של קושי. המל הראה שפתרונות המשוואה הן ההעתקות הליניאריות משדה המספרים הממשיים לעצמו כמרחב וקטורי מעל שדה המספרים הרציונליים. כלומר כל פתרון נקבע לחלוטין על פי הערכים שהוא מקבל על בסיס של הממשיים כמרחב וקטורי מעל הרציונליים. בסיס שכזה נקרא בסיס המל, ולהוכחת קיומו השתמש המל במשפט הסדר הטוב באופן הבא (השימוש במשפט הסדר הטוב, או בגרסה אחרת של אקסיומת הבחירה הכרחי כאן. אין דרך לבנות בסיס המל במפורש.):

מסדרים את המספרים הממשיים בסדר טוב. מספר ממשי מסוים נמצא בבסיס המל אם ורק אם הוא אינו צירוף ליניארי (סופי) של המספרים הקטנים ממנו.

קבוצה זו פורשת את המרחב (משום שכל מספר שאינו נפרש שייך לקבוצה), והיא בלתי תלויה ליניארית, כי אם היה צירוף ליניארי של איברי הבסיס השווה לאיבר בבסיס, אז ניתן להעביר אגפים ולקבל צירוף ליניארי של האיבר המקסימלי בצירוף, בסתירה להגדרת הבסיס. מכאן שזהו אכן בסיס המל.

ראו גם


Read other articles:

Prof. Dr.(HC) Ir. R. M. Sedijatmo Atmohoedojo Prof. Dr. (H.C). Ir. R. M. Sedyatmo atau Sedijatmo[1] atau Sediyatmo[2] (24 Oktober 1909 – 15 Juli 1984) adalah salah satu tokoh insinyur sipil Indonesia, cendekiawan, praktisi, ilmuwan dan guru besar Institut Teknologi Bandung. Riwayat hidup Pendidikan dasar dilaluinya di HIS Solo (1916-1923), dilanjutkan ke MULO Solo (1923-1927), dan AMS B di Yogyakarta (1927-1930). Sedyatmo yang sering dijuluki Si Kancil karena t...

 

 

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Colorado (disambigua). Coloradostato federato(EN) State of Colorado (dettagli) (dettagli) Colorado – VedutaMonte Elbert LocalizzazioneStato Stati Uniti AmministrazioneCapoluogo Denver GovernatoreJared Polis (D) dal 2019 Lingue ufficialiinglese Data di istituzione1º agosto 1876 TerritorioCoordinatedel capoluogo39°44′21″N 104°59′05″W / 39.739167°N 104.984722°W39.739167; -104.984722 (...

 

 

Emanuel Herrera Informasi pribadiNama lengkap Emanuel HerreraTanggal lahir 13 April 1987 (umur 36)Tempat lahir Rosario, ArgentinaTinggi 1,83 m (6 ft 0 in)Posisi bermain PenyerangInformasi klubKlub saat ini MontpellierNomor 11Karier junior2004–2007 Chacarita JuniorsKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2007–2009 Chacarita Juniors 2 (0)2010 Sportivo Italiano 4 (0)2010 Patronato 10 (0)2011 Concepción 35 (27)2012 Unión Española 21 (11)2012– Montpellier 2 (1) * Penampil...

Dassault Falcon 2000Dassault Falcon 2000TipeBusiness jetTerbang perdana4 March, 1993Jumlah produksiover 310Acuan dasarDassault Falcon 900 Dassault Falcon 2000 adalah sebuah perusahaan Bisnis jet sayap rendah (low wing) dari negara Prancis dan merupakan anggota Dassault Aviation maupun Dassault Falcon, dan pesawat ini adalah bermesin-kembar, sedikit lebih kecil pengembangan pesawat trijet 900 Falcon , dengan kemampuan jangkauan terbang antar benua. Varian Falcon 2000 Versi asli bersertifikat p...

 

 

Aishwarya SharmaLahir08 Desember 1992 (umur 31)Ujjain, Madhya Pradesh, IndiaKebangsaanIndianPekerjaanaktrisTahun aktif2015–sekarangDikenal atasGhum Hai Kisikey Pyaar MeiinSuami/istriNeil Bhatt ​(m. 2021)​ Aishwarya Sharma (lahir 08 Desember 1992) adalah seorang aktris televisi India yang dikenal karena perannya sebagai Patralekha Salunkhe di Ghum Hai Kisikey Pyaar Meiin.[1] Kehidupan pribadi Sharma bertemu dengan aktor Neil Bhatt di lokasi syu...

 

 

Drug that causes anesthesia Not to be confused with aesthetics or analgesic. Leaves of the coca plant (Erythroxylum novogranatense var. Novogranatense), from which cocaine, a naturally occurring local anesthetic, is derived.[1][2] An anesthetic (American English) or anaesthetic (British English; see spelling differences) is a drug used to induce anesthesia ⁠— ⁠in other words, to result in a temporary loss of sensation or awareness. They may be divided into two broad ...

Об экономическом термине см. Первородный грех (экономика). ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Ран�...

 

 

French aristocrat and naval commander (1782–1835) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Henri de Rigny – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2016) (Learn how and when to remove this template message) Admiral de Rigny; portrait byFrançois-Gabriel Lépaulle (1836) Marie Henri Danie...

 

 

تحتوي هذه المقالة اصطلاحات معربة غير مُوثَّقة. لا تشمل ويكيبيديا العربية الأبحاث الأصيلة، ويلزم أن تُرفق كل معلومة فيها بمصدر موثوق به. فضلاً ساهم في تطويرها من خلال الاستشهاد بمصادر موثوق بها تدعم استعمال المصطلحات المعربة في هذا السياق أو إزالة المصطلحات التي لا مصادر ل...

Municipal building in London, England 123 Mortlake High StreetGeneral informationTypeResidential, but converted for office useArchitectural styleGeorgianLocationMortlake High Street, London SW14, EnglandCoordinates51°28′13″N 0°15′27″W / 51.4704°N 0.2574°W / 51.4704; -0.2574Construction startedc. 1720 Listed Building – Grade II*Official nameLimes House and Forecourt PiersDesignated25 October 1951Reference no.1065428 123 Mortlake High Street, also know...

 

 

Pour les articles homonymes, voir Wittmann. Michael Wittmann Michael Wittmann en janvier 1944. Naissance 22 avril 1914Vogelthal, Royaume de Bavière Décès 8 août 1944 (à 30 ans)Normandie, FranceMort au combat Origine Allemand Allégeance  Reich allemand Arme Waffen-SS1re division SS Leibstandarte SS Adolf Hitler101e bataillon SS Panzer Grade SS-Hauptsturmführer Années de service 1934 – 1944 Conflits Seconde Guerre mondiale Faits d'armes Campagne de PologneCampagne des Balka...

 

 

Aircraft engine manufacturer For the original Pratt & Whitney Company founded in 1860, see Pratt & Whitney Measurement Systems. For other uses, see Pratt & Whitney (disambiguation). Pratt & WhitneyPratt & Whitney headquarters in East Hartford, ConnecticutCompany typeSubsidiaryIndustryAerospace, electricity generationFounded1925; 99 years ago (1925)FoundersFrederick and Gordon RentschlerEdward DeedsGeorge J. MeadHeadquartersEast Hartford, Connecticut, Unit...

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年 大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)(47—48歲) † 中華民國福建省金門縣国籍 中華民國政党 中國國民黨获奖 青天白日勳章(追贈)军事背景效忠 中華民國服役 國民革命軍 中華民國陸軍服役时间1924年-1958年军衔 二級上將 (追晉)部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

 

 

National beauty pageant competition in Ecuador Organización Miss EcuadorLogo of Organización Miss EcuadorFormation1955; 69 years ago (1955)TypeBeauty pageantHeadquartersGuayaquilLocationEcuadorMembership Miss UniverseMiss InternationalReina HispanoamericanaOfficial language SpanishPresidentMaría del Carmen de Aguayo[1]Key peopleMarco TapiaWebsitewww.missecuador.tv Miss Ecuador is a national beauty pageant in Ecuador. The current Miss Ecuador is Delary Stoffers fro...

 

 

Thai charter airline R Airlines อาร์ แอร์ไลน์ IATA ICAO Callsign RK RCT GREEN SKY FoundedOctober 2012Commenced operations24 January 2013Ceased operations18 February 2018HubsDon Mueang International AirportFleet size1DestinationscharterHeadquartersBangkok, ThailandKey people Rachot Pisitbunnakorn (President)Websiteskyviewairways.co.th R Airlines, legally incorporated as Skyview Airways Co. Ltd., was[1] a Thai charter airline headquartered in the Don Mueang Distr...

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl(英文)(波兰文)2020年夏季奥林匹克运动会(東京)2021年7月23日至8月8日(受2019冠状病毒病疫情影响推迟,但仍保留原定名称)運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式:帕维尔·科热尼奥夫斯基(游泳)和马娅·沃什乔夫斯卡(自行车)[1]闭幕式:卡罗利娜·纳亚(皮划艇)&#...

 

 

SirDaniel Day-LewisDay-Lewis vào tháng 5 năm 2013SinhDaniel Michael Blake Day-Lewis29 tháng 4, 1957 (67 tuổi)Kensington, London, Anh, Anh QuốcTư cách công dânAnh Quốc, IrelandTrường lớpBristol Old Vic Theatre SchoolNghề nghiệpDiễn viênNăm hoạt động1970–2017Phối ngẫuRebecca Miller (cưới 1996)Bạn đờiIsabelle Adjani(1989–1995)Con cái3Cha mẹCecil Day-Lewis (cha)Jill Balcon (mẹ)Người thânTamasin Day-Lewis (chị gái) M...

 

 

Short story series by William Faulkner For the song, see Go Down Moses. This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Go Down, Moses book – news · newspapers · ...

Not to be confused with phosgene. Oxalyl chloride   Carbon, C  Oxygen, O  Chlorine, Cl Names Preferred IUPAC name Oxalyl dichloride[1] Systematic IUPAC name Ethanedioyl dichloride[1] Other names Oxalic acid chlorideOxalic acid dichloride (1:2)Oxalic dichlorideOxaloyl chloride Identifiers CAS Number 79-37-8 Y 3D model (JSmol) Interactive image ChemSpider 59021 N ECHA InfoCard 100.001.092 EC Number 201-200-2 PubChem CID 65578 RTECS number ...

 

 

Fuchsia Fuchsia hybrida Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Plantae (tanpa takson): Tracheophyta (tanpa takson): Angiospermae (tanpa takson): Eudikotil (tanpa takson): Rosid Ordo: Myrtales Famili: Onagraceae Genus: Fuchsia Fuchsia atau anting ratu (dikenal juga dengan nama bunga anting India) adalah sebuah genus tanaman hias dari keluarga Onagraceae.[1] Tanaman ini berasal dari Amerika Selatan.[1] Terdapat sekitar 100 spesies tanaman yang tergolong dalam genus ini.[2] Ahli t...