המשוואה הפונקציונלית של קושי היא המשוואה הפונקציונלית

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,:f(x+y)=f(x)+f(y)}$.

זוהי אחת המשוואות הפונקציונליות הפשוטות ביותר להצגה, אך פתרונותיה הלא-רציפים מדגימים פתולוגיות המשותפות למשוואות פונקציונליות רבות אחרות.

כמו בכל משוואה פונקציונלית אחרת, הבעיה היא למצוא את הפונקציות ${\displaystyle f}$ המקיימות את התנאי שהוזכר לעיל. מעל המספרים הרציונליים, כלומר, עבור פונקציות ${\displaystyle \ f\colon \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} }$, ניתן להראות בנקל שכל פתרון הוא ליניארי, מהצורה ${\displaystyle f(x)=cx}$, כאשר ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$ הוא קבוע שרירותי. משפחה זו של פתרונות היא נכונה בבירור גם מעל המספרים הממשיים, אבל שם קיימים גם פתרונות אחרים. הטלת מגבלות נוספות על ${\displaystyle \ f}$ מביאה לפסילת פתרונות אלה, כך שנותרים רק הפתרונות הליניאריים. למשל:

• ${\displaystyle f}$ רציפה בכל מקום.
• ${\displaystyle f}$ רציפה בנקודה אחת. תנאי זה גורר רציפות בכל נקודה. אכן, לכל מספר ממשי נתון, קיימת סדרה של מספרים רציונליים המתכנסת אליו. באמצעות הגדרת הרציפות של היינה, ניתן להשתמש בכך על מנת להראות כי כל פתרון למשוואה מעל הממשיים הוא מהצורה דלעיל. מספיק לדרוש כי הפונקציה תהיה רציפה בנקודה אחת, שכן אם ${\displaystyle \ f}$ רציפה בנקודה ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ונדרש להראות את רציפותה בנקודה ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, משתמשים במשוואה הפונקציונלית ומקבלים ${\displaystyle f(y+\delta )-f(y)=f(x+\delta )-f(x)\to 0}$ כאשר ${\displaystyle \delta \to 0}$.
• קיים קטע שבו ${\displaystyle f}$ מונוטונית.
• קיים קטע שבו ${\displaystyle f}$ חסומה.

ב-1905 הוכיח גאורג המל, תוך שימוש בבסיס המל, כי (בהנחת אקסיומת הבחירה) ללא הנחות נוספות על ${\displaystyle f}$ מעבר למשוואה היסודית, קיימות אינסוף פונקציות אחרות שמקיימות את המשוואה. הבעיה החמישית ברשימת 23 הבעיות של הילברט היא הכללה של משוואה זו. למעשה, אם מניחים את אקסיומת הבחירה, יש למשוואה ${\displaystyle \aleph }$ פתרונות רציפים ו-${\displaystyle 2^{\aleph }}$ פתרונות לא רציפים (ראו עוצמה (מתמטיקה) לפירוש של מושגים אלה).

נציב במשוואה ${\displaystyle y=0}$ ונקבל ${\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)}$, בפרט ${\displaystyle f(0)=0}$.

כעת, נציב ${\displaystyle y=-x}$ ונקבל ${\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)}$, כלומר, ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.

באינדוקציה, נקבל מהמשוואה כי ${\displaystyle f(mx)=mf(x)}$ לכל מספר טבעי ${\displaystyle m}$. על פי ההצבה הקודמת, זה נכון לכל ${\displaystyle m}$ שלם.

נשים לב כי ${\displaystyle f(x)=f\left(m{\frac {x}{m}}\right)}$ לכל שלם ${\displaystyle m}$ ולכן, על פי הנ"ל, ${\displaystyle f(x)=mf\left({\frac {x}{m}}\right)}$, כלומר ${\displaystyle f\left({\frac {x}{m}}\right)={\frac {1}{m}}f(x)}$.

שילוב שתי התוצאות לעיל נותן לנו כי לכל מספר רציונלי ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ מתקיים ${\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)}$. נציב ${\displaystyle x=1}$ ונקבל ${\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}\right)=c{\frac {m}{n}}}$ לכל ${\displaystyle {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$, כאשר ${\displaystyle c=f(1)}$.

נראה כעת כי כל פתרון אחר למשוואה מעל הממשיים הוא פתולוגי ביותר. ספציפית, נראה כי עבור כל פתרון אחר למשוואה, הגרף שלו (כלומר, קבוצת הזוגות הסדורים ${\displaystyle (x,f(x))\in \mathbb {R} ^{2}}$) הוא קבוצה צפופה ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: כל עיגול במישור, אפילו קטן ביותר, מכיל נקודה של הגרף. מכאן ברור כי כל פתרון שבו הגרף אינו צפוף (כגון, אם הפונקציה מקיימת אחד מן התנאים הנוספים שהוזכרו לעיל), מוכרח להיות ליניארי.

נניח, על ידי הכפלת הפתרון בקבוע, כי ${\displaystyle c=1}$, כלומר שמתקיים ${\displaystyle f(q)=q}$ לכל ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ונניח שקיים ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ אשר עבורו ${\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha }$.

נסמן ${\displaystyle \delta =f(\alpha )-\alpha }$ (כך ש- ${\displaystyle \delta \neq 0}$). כעת נראה איך למצוא נקודה השייכת לגרף הפונקציה במעגל שרירותי, אשר מרכזו ${\displaystyle (x,y)}$ ורדיוסו ${\displaystyle r}$, כאשר ${\displaystyle x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y}$. כל מעגל במישור מכיל מעגל שכזה.

נסמן ${\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}$ ונבחר מספר רציונלי ${\displaystyle b\neq 0}$, קרוב מספיק ל- ${\displaystyle \beta }$, כך שיתקיים ${\displaystyle |\beta -b|<{\frac {r}{2|\delta |}}}$.

כמו כן, נבחר מספר רציונלי ${\displaystyle a}$, קרוב מספיק ל- ${\displaystyle \alpha }$, כך שיתקיים ${\displaystyle |\alpha -a|<{\frac {r}{2|b|}}}$.

נסמן ${\displaystyle X=x+b(\alpha -a)}$ ו-${\displaystyle Y=f(X)}$ וכעת, תוך שימוש במשוואה הפונקציונלית, נקבל כי:

בגלל הבחירות שעשינו לעיל, הנקודה ${\displaystyle (X,Y)}$ נמצאת בפנים המעגל.

נתאר כעת את כל הפונקציות המקיימות את המשוואה. כידוע, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ו- ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ הם שדות ו- ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ הוא תת-שדה של ${\displaystyle \mathbb {R} }$. על כן, ניתן להסתכל על ${\displaystyle \mathbb {R} }$ כעל מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

ראינו לעיל שכל פתרון ${\displaystyle f}$ מקיים את תנאי ההומוגניות ${\displaystyle f(mx)=mf(x)}$ לכל סקלר רציונלי ${\displaystyle m}$ ולכל מספר ממשי ${\displaystyle x}$. אם כך, ${\displaystyle f}$ היא העתקה ליניארית מן המרחב הווקטורי ${\displaystyle \mathbb {R} }$ אל עצמו. מצד שני, כל העתקה ליניארית מקיימת את תנאי האדיטיביות, המגדיר את ${\displaystyle f}$. מכאן שאוסף הפתרונות למשוואה הפונקציונלית כולל את כל ההעתקות הליניאריות, ותו לא.

יהי ${\displaystyle B}$ בסיס המל למרחב וקטורי זה. כל העתקה ליניארית מוגדרת על-פי הערכים שנבחר לה, שרירותית, על אברי ${\displaystyle B}$.