אקסיומת ההחלפה

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההחלפה היא סכימה של אקסיומות שמבטיחות כי תמונה של הפעלת פונקציה גדירה על קבוצה היא גם קבוצה.

הרעיון מאחורי האקסיומה הוא שכל האובייקטים ה"קטנים" ביקום של תורת הקבוצות, הן קבוצות; ובפרט, כל אובייקט שעוצמתו קטנה מקבוצה - הוא קבוצה בעצמו. כיוון שב-ZFC אנחנו לא יכולים לכמת על פני אובייקטים שהם אינם קבוצות, אנחנו מגבילים את האקסיומות לאוסף כל הפונקציות אותן אנחנו יכולים להגדיר באמצעות נוסחה.

הגדרה פורמלית

נניח כי עבור קבוצה , הנוסחה מגדירה פונקציה חד חד ערכית לאובייקטים . כלומר, לכל איבר של קיים יחיד בו מתקיים ; אקסיומת ההחלפה תטען כי התמונה של הפונקציה הזו היא גם כן קבוצה:

בכתיב מתמטי:

אקסיומת ההחלפה איננה אקסיומה בודדת כיוון שלא ניתן לכמת על פני הנוסחאות - זהו אוסף אינסופי רקורסיבי של אקסיומות.

היסטוריה

אקסיומת ההחלפה לא הייתה חלק ממערכת האקסיומות המקורית אותה הציע צרמלו ב-1908. מערכת האקסיומות של צרמלו, Z, הכילה את אקסיומת ההפרדה, החלשה יותר. אקסיומת ההחלפה הוספה על ידי פרנקל בשנת 1922 ומערכת האקסיומות החדשה נקראה ZF. אקסיומת ההחלפה הוצעה באופן בלתי תלוי, מאוחר יותר באותה שנה, גם על ידי סקולם.

אקסיומת ההחלפה מגדילה באופן ניכר את החוזק של ZF במובן של המשפטים אותם ZF יכולה להוכיח לעומת Z. כך למשל, ב-ZF יש מודל עבור Z - (בסימונים של ההיררכיה של פון-נוימן). בנוסף, התורה Z אינה יכולה להוכיח כי המונה קיים, בעוד שבתורה ZF ניתן להוכיח כי לכל סודר קיים .

נעיר, כי חלק משמעותי מהמתמטיקה הסטנדרטית ניתנת לפיתוח כבר בתורה Z, ללא אקסיומת ההחלפה, אך קיימות תכונות משמעותיות של קבוצות של המספרים הממשיים אותן לא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. דוגמה מפתיעה היא הכריעות של קבוצות בורל - כדי להוכיח את המשפט המודל חייב להכיל את קבוצת החזקה ה- של הטבעיים, לכל סודר בן-מנייה.

בתחום של תורת הקבוצות קיימות תוצאות בסיסיות בהרבה שלא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. כך, למשל, לא ניתן להוכיח כי הסודר קיים במובן של פון-נוימן (כלומר כקבוצה שיחס הסדר שלה הוא יחס השייכות). זהו הסודר הראשון שלא ניתן להוכיח את קיומו במסגרת Z. נעיר כי ב-Z יש קבוצה סדורה היטב שטיפוס הסדר שלה הוא אבל לא ניתן להמיר אותה לצורה הסטנדרטית ללא שימוש באקסיומת ההחלפה.

לעומת זאת, בהינתן אקסיומת ההחלפה טיפוס הסדר של מחלקת הסודרים הוא במובן מסוים אי נשיג (למעט העובדה שהוא לא מונה) - אין שום דרך להגדיר סדרה לא חסומה של סודרים שאורכה הוא סודר, כיוון שאז באמצעות ההחלפה ואקסיומת האיחוד נוכל למצוא סודר שגדול יותר מכל הסדרה.

אקסיומות קשורות

אקסיומת האוסף היא הכללה של אקסיומת ההחלפה, בה אנחנו לא דורשים שהנוסחה תגדיר פונקציה אלא רק יחס, R, בו לכל איבר של x מתאים לפחות איבר אחד ביחס R. במקרה הזה היא מבטיחה שיש קבוצה z בה לכל איבר של x יש לפחות איבר אחד שמתאים לו ביחס R.

הצמצום של אקסיומה זו למקרים בהם הנוסחה מגדירה פונקציה ייתן בדיוק את אקסיומת ההחלפה. מצד שני, ZF (ללא אקסיומת הבחירה) מוכיחה את הנכונות של אקסיומת האוסף.

אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמכילה עבור כל נוסחה (עם פרמטרים) את הטענה שלכל קבוצה A קיימת קבוצה B שמורכבת בדיוק מאוסף כל האיברים של A שמקיימים את הנוסחה. אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה (בהנחה שקיימת קבוצה ריקה). נניח כי A קבוצה ואנחנו רוצים להראות שיש קבוצה B כך שיתקיים: (עבור קבוצה u מסוימת כפרמטר). נפריד לשני מקרים:

  • אם אין איבר של x שמקיים את הנוסחה, אז , והנחנו שזו קבוצה.
  • אם יש איבר כזה, z, אז נגדיר את הפונקציה שעל קלט y תחזיר את y אם הוא מקיים את הנוסחה ואחרת את z. כעת, תמונת A תחת הפונקציה שהגדרנו היא בדיוק הקבוצה הרצויה.

כיוון שאקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יש ספרים מודרניים בתורת הקבוצות שמשמיטים אותה מרשימת האקסיומות.

מצד שני, ניתן להחליש את אקסיומת ההחלפה, ולדרוש רק שנוכל לחסום את תמונת כל פונקציה גדירה שמופעלת על קבוצה על ידי קבוצה אחרת. באופן הזה אנחנו עדיין נדרשים לאקסיומת ההפרדה[1].

אקסיומת הזוג הלא סדור נובעת מאקסיומת ההחלפה, בהנחה שקיימת קבוצה כלשהי עם לפחות שני איברים שונים. נניח כי A מכילה איבר a ולפחות עוד איבר ששונה מ-a. נפעיל על A את אקסיומת ההחלפה עם הפונקציה שמעבירה את a ל-x וכל איבר שאינו a ל-y. תמונת A תחת הפונקציה הזו היא הזוג הלא-סדור {x,y}.

קיום קבוצה עם לפחות שני איברים נובעת מאקסיומת האינסוף.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ כך קונן מגדיר את האקסיומה בספרו set theory

Read other articles:

1917 film Arsene LupinNewspaper advertisementDirected byPaul ScardonWritten byFrancis de Croisset (play) Garfield ThompsonStarringEarle Williams Brinsley Shaw Henry LeoneCinematographyRobert A. StuartProductioncompanyVitagraph Company of AmericaDistributed byV-L-S-ERelease dateMarch 12, 1917Running time50 minutesCountryUnited StatesLanguagesSilent English intertitles Arsene Lupin is a lost[1] 1917 American mystery film directed by Paul Scardon and starring Earle Williams, Brinsley Sha...

 

Port Authority of New York and New JerseyTanggal pendirian1921TipeOtoritas pelabuhanKantor pusatCorporate Headquarters The Port Authority of NY & NJ 225 Park Avenue South New York, NY 10003 Telephone: 212-435-7000Wilayah layanan New York dan New JerseyDirektur EksekutifChristopher O. WardSitus webPort Authority of New York and New Jersey - Situs Web Resmi Tol yang dipungut di Terowongan Holland dan perlintasan lain turut membantu pendanaan Port Authority Port Authority of New York and New...

 

Federated state of Yugoslavia (1945–1992) People's Republic of Serbia(1946–1963)Народна Република Србија (Serbo-Croatian)Narodna Republika Srbija (Serbo-Croatian) Socialist Republic of Serbia(1963–1990)Социјалистичка Република Србија (Serbo-Croatian)Socijalistička Republika Srbija (Serbo-Croatian) Republic of Serbia(1990–1992)Република Србија (Serbo-Croatian)Republika Srbija (Serbo-Croatia...

Pour les articles homonymes, voir Barboure (homonymie). La BarboureRuisseau des Lochères La Barboure à Marson-sur-Barboure. Caractéristiques Longueur 13,8 km [1] Bassin 69 km2 [1] Bassin collecteur La Seine Débit moyen (Naix-aux-Forges) Nombre de Strahler 2 Régime pluvial océanique Cours Source source du Franois · Localisation Naives-en-Blois · Altitude 329 m · Coordonnées 48° 39′ 13″ N, 5° 31′ 41″ E Confluence l'Ornain · Loca...

 

Daftar ini belum tentu lengkap. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. County,[1] secara konstitusional dikenal dengan nama hsien,[1] adalah unit pembagian administratif di Taiwan. Di bawah struktur administrasi Taiwan, ia memiliki tingkat yang sama dengan kota provinsi. County[I]County ditampilkan dalam warna hijauKategoriKotamadya, county, dan kota khususLetakRepublik Tiongkok (Taiwan)Jumlah wilayah13Penduduk13,089–1,272,939Luas29–4629 km2Pemerint...

 

Artikel bertopik sepak bola ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Beşiktaş JKNama lengkapBeşiktaş Jimnastik KulübüJulukanKara Kartallar(Elang Hitam)Berdiri19 Maret 1903; 121 tahun lalu (1903-03-19)StadionVodafone Park, Beşiktaş, Istanbul(Kapasitas: 42,590)PresidenAhmet Nur Çebi[1][2]Head coachÖnder KaraveliLigaLiga Super2022–2...

Divisions of some autonomous communities in Spain ComarcaAlso known as:Comarques (Catalan), Eskualde (Basque)CategoryComarcaLocationSpainFound inautonomous communitiesNumber83 formal, 465 total (as of 20 June 2022)GovernmentComarcal councilSubdivisionsMunicipality Comarcas of Spain In Spain, a comarca (Spanish: [koˈmaɾkas], sing. comarca)[a] is either a traditional territorial division without any formal basis, or a group of municipalities, legally defined by an autonom...

 

大宮競輪場(大宮双輪場) 基本情報所在地 埼玉県さいたま市大宮区高鼻町4大宮公園内座標 北緯35度55分8.9秒 東経139度38分1.8秒 / 北緯35.919139度 東経139.633833度 / 35.919139; 139.633833座標: 北緯35度55分8.9秒 東経139度38分1.8秒 / 北緯35.919139度 東経139.633833度 / 35.919139; 139.633833電話投票 25#開設 1949年(昭和24年)1月14日民間委託 日本トーター施行�...

 

American singing duo. Carolyn (left) and Mary Jane DeZurik The DeZurik Sisters (also known as The Cackle Sisters) were a country-music duo. They were two of the first women to become stars on both the National Barn Dance and the Grand Ole Opry, largely a result of their original yodeling style.[1] Background Born and raised on a farm in Royalton, Minnesota, Mary Jane (February 1, 1917 – 1981) and Carolyn DeZurik (December 24, 1918 – March 16, 2009) were part of a family o...

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Kurate District, Fukuoka – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this message) Location of Kurate District in Fukuoka Prefecture Kurate (鞍手郡, Kurate-gun) is a district located in Fukuoka Prefecture, Japan. As of 2003, the...

 

Polymer harvested from certain trees Rubber and India rubber redirect here. For other uses, see Rubber (disambiguation). Caoutchouc redirects here. For the painting by Francis Picabia, see Caoutchouc (Picabia). This article is about the polymeric material natural rubber. For human-made rubber materials, see Synthetic rubber. Pieces of natural vulcanized rubber at Hutchinson's Research and Innovation Center in France. Latex being collected from a tapped rubber tree, Cameroon Rubber tree planta...

 

Elections in California Federal government U.S. President 1852 1856 1860 1864 1868 1872 1876 1880 1884 1888 1892 1896 1900 1904 1908 1912 1916 1920 1924 1928 1932 1936 1940 1944 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 Dem Rep 2000 Dem Rep 2004 Dem Rep 2008 Dem Rep 2012 Dem Rep 2016 Dem Rep 2020 Dem Rep 2024 Dem Rep U.S. Senate 1849 1850 1852 sp 1856 1857 sp 1860 1860 sp 1868 1872 1873 1873 sp 1878 1880 1885 1886 sp 1887 1891 1891 sp 1893 1895 sp 1897 1900 sp 1903 190...

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: 尚泰王 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2014年3月) 尚 泰王しょう たいおう 琉球国王・琉球藩王 晩年の...

 

Habsburg Emperor from 1848 to 1916 Franz Joseph redirects here. For other uses, see Franz Joseph (disambiguation). Franz Joseph IFranz Joseph in the uniform of a Hungarian field marshal, c. 1892Emperor of Austria King of Hungary (more…) Reign2 December 1848 – 21 November 1916Coronation8 June 1867 Matthias Church (as King of Hungary)PredecessorFerdinand I & VSuccessorCharles I, III & IVKing of Lombardy-VenetiaReign2 December 1848 – 12 October 1866PredecessorFerdin...

 

Pour les autres articles nationaux ou selon les autres juridictions, voir Assemblée nationale. Assemblée nationale(ht) Asanble Nasyonal Assemblée actuellement dissoute Armoiries d'Haïti.Présentation Type Réunion du Sénat de la République et de la Chambre des députés Corps Parlement haïtien Chambres Sénat de la RépubliqueChambre des députés Création 1806 Lieu Port-au-Prince Structure Membres 149 :30 sénateurs119 députés Données clésDonnées clésÉlection Dernier scr...

Town in North Rhine-Westphalia, GermanyWaldbröl TownTown hall in Waldbröl FlagCoat of armsLocation of Waldbröl within Oberbergischer Kreis district Waldbröl Show map of GermanyWaldbröl Show map of North Rhine-WestphaliaCoordinates: 50°52′44″N 7°36′54″E / 50.87889°N 7.61500°E / 50.87889; 7.61500CountryGermanyStateNorth Rhine-WestphaliaAdmin. regionCologne DistrictOberbergischer Kreis Subdivisions64Government • Mayor (2020–25) Larissa W...

 

Questa voce sull'argomento centri abitati del Minas Gerais è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Descobertocomune LocalizzazioneStato Brasile Stato federato Minas Gerais MesoregioneZona da Mata MicroregioneJuiz de Fora AmministrazioneSindacoCarlos Alberto Gonçalves Mendonça TerritorioCoordinate21°27′34″S 42°58′01″W21°27′34″S, 42°58′01″W (Descoberto) Altitudin...

 

Television transmission technology An RCA Victor Color TV ad featuring milliner Lilly Daché in 1959. Color television (American English) or colour television (Commonwealth English) is a television transmission technology that includes color information for the picture, so the video image can be displayed in color on the television set. It improves on the monochrome or black-and-white television technology, which displays the image in shades of gray (grayscale). Television broadcasting statio...

本桐駅 駅舎(2017年9月) ほんきり Honkiri ◄蓬栄 (3.2 km) (7.2 km) 荻伏► 所在地 北海道日高郡新ひだか町三石本桐北緯42度14分53.54秒 東経142度37分49.84秒 / 北緯42.2482056度 東経142.6305111度 / 42.2482056; 142.6305111所属事業者 北海道旅客鉄道(JR北海道)所属路線 日高本線キロ程 113.0 km(苫小牧起点)電報略号 キリ駅構造 地上駅ホーム 1面2線開業年...

 

2023 studio album by The Amity AfflictionNot Without My GhostsStudio album by The Amity AfflictionReleased12 May 2023 (2023-05-12)Genre Metalcore post-hardcore Length38:05LabelPure NoiseProducerThe Amity AfflictionThe Amity Affliction chronology Everyone Loves You... Once You Leave Them(2020) Not Without My Ghosts(2023) Singles from Not Without My Ghosts Show Me Your GodReleased: 29 November 2022[1] I See Dead PeopleReleased: 13 February 2023[2] It's He...