ערך זה עוסק במושג מתורת הקבוצות. אם התכוונתם ליחס ${\displaystyle Y={\frac {\lambda }{X}}}$, ראו יחס הפוך.

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ על קבוצה ${\displaystyle A}$, הוא היחס המסומן ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$ ומוגדר על ידי ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}x}$. לדוגמה, היחס ההופכי ליחס ${\displaystyle <}$ על ${\displaystyle \mathbb {R} }$ הוא היחס ${\displaystyle >}$.

• רפלקסיביות.

הוכחה: ${\displaystyle \forall x,x{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,\forall x,x{\mathcal {R}}^{-1}x}$.

• אי-רפלקסיביות.

הוכחה: מההגדרה ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}x}$ נובע כי ${\displaystyle \neg x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff \neg y{\mathcal {R}}x}$, ולכן ${\displaystyle \forall x,\neg x{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,\forall x,\neg x{\mathcal {R}}^{-1}x}$.

• סימטריה. בפרט אם ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ סימטרי, אז ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}={\mathcal {R}}}$.

הוכחה: ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}x\iff x{\mathcal {R}}y\iff y{\mathcal {R}}^{-1}x}$.

• אנטי-סימטריה וכן א-סימטריה.

הוכחה: ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}x\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x\land x{\mathcal {R}}y\,\Rightarrow \,x=y}$ ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}x\iff y{\mathcal {R}}x\land x{\mathcal {R}}y}$ ולכן אם ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ א-סימטרי אז ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$ א-סימטרי.

• טרנזיטיביות.

הוכחה: ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}z\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x\land z{\mathcal {R}}y\,\Rightarrow \,z{\mathcal {R}}x\Rightarrow x{\mathcal {R}}^{-1}z}$.

• ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: ${\displaystyle ({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}={\mathcal {R}}}$. תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב-${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ אז ב-${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$" ל"ב-${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ אם ורק אם ב-${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$".

הוכחה: לכל ${\displaystyle x,y}$ מתקיים ${\displaystyle x({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}^{-1}x\iff x{\mathcal {R}}y}$

• הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {T}}\iff {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {R}}}$.

הוכחה: לכל ${\displaystyle x,y}$ מתקיים ${\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,y{\mathcal {T}}x\,\Rightarrow \,x{\mathcal {T}}^{-1}y}$ ולכן ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}\subseteq {\mathcal {T}}^{-1}}$.

• ההופכי מתפלג מעל החיתוך: ${\displaystyle ({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {R}}^{-1}\cap {\mathcal {T}}^{-1}}$.

הוכחה: לכל ${\displaystyle x,y}$ מתקיים ${\displaystyle x({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})^{-1}y\iff y({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})x\iff y{\mathcal {R}}x\land y{\mathcal {T}}x\iff x{\mathcal {R}}^{-1}y\land x{\mathcal {T}}^{-1}y\iff x({\mathcal {R}}^{-1}\cap {\mathcal {T}}^{-1})y}$.

• ההופכי מתפלג מעל האיחוד: ${\displaystyle ({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {R}}^{-1}\cup {\mathcal {T}}^{-1}}$.

הוכחה: לכל ${\displaystyle x,y}$ מתקיים ${\displaystyle x({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})^{-1}y\iff y({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})x\iff y{\mathcal {R}}x\lor y{\mathcal {T}}x\iff x{\mathcal {R}}^{-1}y\lor x{\mathcal {T}}^{-1}y\iff x({\mathcal {R}}^{-1}\cup {\mathcal {T}}^{-1})y}$.

• ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: ${\displaystyle ({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {T}}^{-1}\circ {\mathcal {R}}^{-1}}$.

הוכחה: לכל ${\displaystyle x,y}$ מתקיים ${\displaystyle x({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})^{-1}y\iff y({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})x\iff \exists z,y{\mathcal {R}}z\land z{\mathcal {T}}x\iff \exists z,z{\mathcal {R}}^{-1}y\land x{\mathcal {T}}^{-1}z\iff x({\mathcal {T}}^{-1}\circ {\mathcal {R}}^{-1})y}$.

• מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

• לכל קבוצה ${\displaystyle A}$, היחס ההופכי ליחס ${\displaystyle \subseteq }$ על ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ הוא ${\displaystyle \supseteq }$.
• לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
• היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".

• יחס (תורת הקבוצות)
• פונקציה הופכית

• תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו, עמוד 11.