Matriz diagonalizable

Matriz diagonalizable
Instancia de concepto matemático
Subclase de matriz cadrada
Estudado por álxebra lineal
Oposto a matriz defectiva
Dual de matriz defectiva
Fórmula ${\displaystyle \exists S\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {K} ):D_{A}=S^{-1}AS}$
Fontes e ligazóns
MathWorld DiagonalizableMatrix
OpenAlex C30072841
[ Wikidata ]

En matemáticas, unha matriz diagonalizable é unha matriz cadrada similar a unha matriz diagonal. Esta propiedade é equivalente á existencia dunha base de autovectores, o que permite definir analogamente un endomorfismo diagonalizable dun espazo vectorial .

O feito de que unha matriz sexa diagonalizable depende do corpo no que se buscan os autovalores, o que confirma a caracterización de diagonalizable polo feito de que o polinomio mínimo se factorice con raíces simples .

Esta caracterización permítenos mostrar en particular que os proxectores son sempre diagonalizables, así como as involucións se o corpo de coeficientes ten unha característica distinta de 2. Máis en xeral, os endomorfismos e as matrices de orde finita son diagonalizables sobre o corpo de complexos . Pola contra, un endomorfismo nilpotente distinto de cero non pode ser diagonalizable.

As matrices reais simétricas son diagonalizables por unha matriz ortogonal . De xeito máis xeral, as matrices normais, incluíndo as matrices hermitianas, antihermitianas e unitarias, son diagonalizables usando unha matriz unitaria, o que leva ao teorema espectral .

A diagonalización consiste en determinar de maneira efectiva unha matriz de pasaxe que transforma unha matriz diagonalizable nunha matriz diagonal, ou en atopar a descomposición dun espazo vectorial nunha suma directa de rectas invariantes mediante un endomorfismo .

Unha matriz cadrada ${\displaystyle M}$ con coeficientes nun corpo K dise que é diagonalizable sobre K se existe unha matriz invertible ${\displaystyle P}$ (chamada matriz modal ) e unha matriz diagonal ${\displaystyle D}$ con coeficientes en K que satisfán a relación :

${\displaystyle M=PDP^{-1}\,.}$

Neste caso, cada vector columna ${\displaystyle Y}$ da matriz ${\displaystyle P}$ é un autovector para a matriz ${\displaystyle M}$, é dicir, existe un escalar ${\displaystyle \lambda }$ na diagonal de ${\displaystyle D}$ tal que ${\displaystyle MY=\lambda Y}$ .

Recíprocamente, se unha matriz admite unha familia de autovalores que forman unha base do espazo de vectores columna, entón esta matriz é diagonalizable. Abonda con construír a matriz invertible formada pola xustaposición destes vectores, estando a matriz diagonal definida pola secuencia de autovalores asociados.

Dise que un endomorfismo dun espazo vectorial é diagonalizable se existe unha base de autovectores. Isto significa que o espazo vectorial pode descompoñerse nunha suma directa de rectas invariantes polo endomorfismo ou, noutras palabras, que o espazo vectorial é a suma directa dos autosubespazos do endomorfismo .

En dimensión finita, esta definición significa que o endomorfismo está representado nesta base por unha matriz diagonal, de xeito que calquera representación matricial do endomorfismo é unha matriz diagonalizable por cambio de base .

• Exemplo de matriz diagonalizable sobre o corpo dos complexos, pero non sobre o dos reais, tendo como polinomio característico ${\displaystyle X^{2}+1}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

• Matriz cun polinomio característico ${\displaystyle X^{2}}$
  pero cuxo núcleo coincide coa súa imaxe,
  polo que non é diagonalizable.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

Por definición, calquera matriz similar a unha matriz diagonalizable tamén é diagonalizable, o que se pode traducir para os endomorfismos polo feito de que o conxugado dun endomorfismo diagonalizable por un automorfismo tamén é diagonalizable.

Outras propiedades dedúcense directamente da forma diagonal:

• o núcleo e a imaxe están en suma directa ;
• o polinomio característico factorízase : sendo invariante por semellanza, é o mesmo para unha matriz diagonalizable ${\displaystyle M}$ e para unha matriz diagonal ${\displaystyle D}$ asociado e escríbese :
  
  
  
  ${\displaystyle \chi _{M}(X)=\prod _{i}{(X-\lambda _{i})}\,}$
  
  
  
  onde ${\displaystyle (\lambda _{i})}$ describe os coeficientes diagonais de ${\displaystyle D}$ (o mesmo valor pode aparecer varias veces).

Polo contrario, unha matriz cuxo polinomio característico está factorizado non é necesariamente diagonalizable, como no caso das matrices nilpotentes distintas de cero.

Non obstante, se o polinomio característico se divide en raíces simples, cada unha das súas raíces está asociada a un autovalor e os autovectores asociados forman unha base, o que demostra que a matriz é diagonalizable.