A suma directa é unha operación entre estruturas na álxebra abstracta, unha rama das matemáticas. Defínese de forma diferente, pero de xeito análogo, para diferentes tipos de estruturas. Como exemplo, a suma directa de dous grupos abelianos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ é outro grupo abeliano ${\displaystyle A\oplus B}$ constituído polos pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ onde ${\displaystyle a\in A}$ e ${\displaystyle b\in B}$. Para sumar pares ordenados, definimos a suma ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ como ${\displaystyle (a+c,b+d)}$; noutras palabras, a suma defínese en función das coordenadas. Por exemplo, a suma directa ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$, onde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o espazo de coordenadas real, é o plano cartesiano, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Pódese usar un proceso similar para formar a suma directa de dous espazos vectoriais ou dous módulos.

Tamén podemos formar sumas directas con calquera número finito de sumandos, por exemplo ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$, sempre que ${\displaystyle A,B,}$ e ${\displaystyle C}$ son os mesmos tipos de estruturas alxébricas (por exemplo, todos os grupos abelianos ou todos os espazos vectoriais). Isto descansa no feito de que a suma directa é asociativa ata isomorfismo. É dicir, ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ para calquera estrutura alxébrica ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, e ${\displaystyle C}$ do mesmo tipo. A suma directa tamén é conmutativa ata isomorfismo, é dicir ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ para calquera estrutura alxébrica ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ do mesmo tipo.

A suma directa de un número finito de grupos abelianos, espazos vectoriais ou módulos pode ser canonicamente isomorfa ao produto directo correspondente. Non obstante, isto é falso para algúns obxectos alxébricos, como os grupos non abelianos.

No caso de que se combinen infinitos obxectos, a suma directa e o produto directo non son isomorfos, mesmo para grupos abelianos, espazos vectoriais ou módulos.

O plano xy, un espazo vectorial bidimensional, pódese considerar como a suma directa de dous espazos vectoriais unidimensionais, é dicir, os eixos x e y. Nesta suma directa, os eixos x e y córtanse só na orixe (o vector cero). A adición defínese por coordenadas, é dicir ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$, que é o mesmo que a suma vectorial.

Dadas dúas estruturas ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, a súa suma directa escríbese como ${\displaystyle A\oplus B}$. Dada unha familia indexada de estruturas ${\displaystyle A_{i}}$, indexados con ${\displaystyle i\in I}$, pódese escribir a suma directa como ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$. Cada A_i chámase sumando directo de A. No caso dos grupos, se a operación de grupo se escribe como ${\displaystyle +}$ úsase a frase "suma directa", mentres que se se escribe a operación de grupo ${\displaystyle *}$ utilízase a frase "produto directo". Cando o conxunto de índices é infinito, a suma directa non é o mesmo que o produto directo xa que a suma directa ten o requisito adicional de que todas as coordenadas, menos un número finito, deben ser cero.

Faise unha distinción entre sumas directas internas e externas, aínda que as dúas son isomorfas. Se primeiro se definen os sumandos, e despois a suma directa defínese en termos dos sumandos, temos unha suma directa externa. Por exemplo, se definimos os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e despois definimos ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ dise que a suma directa é externa.

Se, pola contra, definimos primeiro algunha estrutura alxébrica ${\displaystyle S}$ e despois escribimos ${\displaystyle S}$ como suma directa de dúas subestruturas ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$, entón dise que a suma directa é interna. Neste caso, cada elemento de ${\displaystyle S}$ é expresábel unicamente como combinación alxébrica dun elemento de ${\displaystyle V}$ e un elemento de ${\displaystyle W}$. Para un exemplo de suma directa interna, considere ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ (os enteiros módulo seis), cuxos elementos son ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$. Isto é expresábel como unha suma directa interna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$.

A suma directa de grupos abelianos é un exemplo prototípico de suma directa. Dados dous grupos deste tipo ${\displaystyle (A,\circ )}$ e ${\displaystyle (B,\bullet ),}$ a súa suma directa ${\displaystyle A\oplus B}$ é o mesmo que o seu produto directo. É dicir, o conxunto subxacente é o produto cartesiano ${\displaystyle A\times B}$ e a operación do grupo ${\displaystyle \,\cdot \,}$ defínese por compoñentes: $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$Esta definición xeneralízase a sumas directas de un número finito de grupos abelianos.

A suma directa de módulos é unha construción que combina varios módulos nun novo módulo.

Os exemplos máis familiares desta construción ocorren cando se consideran espazos vectoriais, que son módulos sobre un corpo. A construción tamén se pode estender aos espazos de Banach e aos espazos de Hilbert.

Unha categoría aditiva é unha abstracción das propiedades da categoría de módulos.^[1][2] Nesta categoría coinciden os produtos finitos e os coprodutos e a suma directa é calquera deles.

Caso xeral: En teoría de categorías a suma directa é moitas veces, pero non sempre, o coproduto na categoría dos obxectos matemáticos en cuestión. Por exemplo, na categoría de grupos abelianos, a suma directa é un coproduto. Isto tamén é certo na categoría de módulos.

Porén, a suma directa ${\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ (definida de forma idéntica á suma directa de grupos abelianos) non é un coproduto dos grupos ${\displaystyle S_{3}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ na categoría de grupos. Polo tanto, para esta categoría, unha suma directa categórica adoita chamarse simplemente coproduto para evitar calquera posible confusión.

Algúns autores falan da suma directa ${\displaystyle R\oplus S}$ de dous aneis cando queren dicir o produto directo ${\displaystyle R\times S}$, pero isto debería evitarse^[3] xa que ${\displaystyle R\times S}$ non recibe homomorfismos de aneis naturais de ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle S}$: en particular, o mapa ${\displaystyle R\to R\times S}$ enviando ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle (r,0)}$ non é un homomorfismo de anel xa que non pode enviar 1 a ${\displaystyle (1,1)}$ (asumindo que ${\displaystyle 0\neq 1}$ en ${\displaystyle S}$). Así ${\displaystyle R\times S}$ non é un coproduto na categoría de aneis e non debe escribirse como unha suma directa. (O coproduto na categoría de aneis conmutativos é o produto tensor de aneis.^[4] Na categoría de aneis, o coproduto vén dado por unha construción similar ao produto libre de grupos.)

Para calquera matrices arbitrarias ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, a suma directa ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$ defínese como a matriz diagonal de bloques de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ se ambas as dúas son matrices cadradas. $${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

• Pruduto directo.

• Suma Directa en MathWorld