Matemáticas ou matemática[1] (do grego μαθηματικός, mathēmatikós, 'o que aprende', que á súa vez deriva de μάθημα, máthēma, 'coñecemento', 'estudo', 'aprendizaxe') é o estudo abstracto de cuestións que abranguen os conceptos de cantidade[2][3], estrutura[4], espazo[3], cambio[5][6], e outras propiedades[7]; se ben non hai unha definición xeralmente aceptada[8][9]. Os matemáticos buscan padróns[10][11] e formulan novas conxecturas das que tratan de establecer a súa verdade ou falsidade mediante unha demostración matemática. Cando as estruturas matemáticas son bos modelos de fenómenos reais, o razoamento matemático pode axudar a comprender e facer predicións sobre a natureza.
Por medio da abstracción e do razoamento lóxico, as matemáticas desenvólvense a partir da acción de contar, o cálculo, a medida, e o estudo sistemático das formas e os movementos dos obxectos físicos. A práctica das matemáticas ven sendo unha actividade humana polo menos desde que existen documentos escritos. A resolución dos problemas matemáticos pode levar séculos de investigación continuada. O razoamento rigoroso aparece por primeira vez na matemática grega, especialmente nos Elementos de Euclides. Desde os traballos pioneiros a finais do século XIX de Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) e outros acerca dos sistemas axiomáticos, fíxose habitual ver a investigación matemática como a busca da verdade mediante a dedución rigorosa a partir de axiomas e definicións elixidos axeitadamente. As matemáticas desenvolvéronse dun xeito relativamente lento ata o Renacemento, momento no que as innovacións matemáticas interactúan cos novos descubrimentos científicos para dar lugar a un rápido incremento do número de achados matemáticos que continúa no presente.
A filosofía está escrita neste gran libro que está permanentemente aberto aos nosos ollos (o universo), pero este libro non pode ser entendido se primeiramente non se aprende a súa linguaxe e se coñecen as letras coas que está escrito. Está escrito na linguaxe das matemáticas e as súas letras son triángulos, círculos e outras figuras xeométricas, sen cuxos medios é humanamente imposíbel entender palabra ningunha; sen eles estaremos vagando nun labirinto escuro.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855) referíase ás matemáticas coma "a raíña das ciencias"[13]. Benjamin Peirce (1809–1880) chamaba ás matemáticas "a ciencia que obtén conclusións necesarias"[14]. David Hilbert opinaba que "de ningunha maneira estamos a falar aquí de arbitrariedades. As matemáticas non son como un xogo no que as tarefas están determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pola contra, é un sistema conceptual cunha necesidade interna de que só poida ser así e de ningún outro modo."[15]. Albert Einstein (1879–1955) afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16]. A matemática francesa Claire Voisin sinala que "hai un pulo creativo nas matemáticas, é todo acerca do movemento que intenta manifestarse"[17].
As matemáticas son unha ferramenta esencial en moitos campos do saber, incluídas as ciencias naturais, a enxeñería, a medicina e as ciencias sociais. A matemática aplicada, a rama das matemáticas á que lle concirnen as aplicacións dos coñecementos matemáticos a outros campos, inspírase e fai uso dos novos descubrimentos matemáticos, os cales conducen ao desenvolvemento de novas disciplinas matemáticas, coma a estatística e a teoría de xogos. Os matemáticos tamén se implican na matemática pura sen teren en mente ningunha aplicación práctica, só polo pracer de facer matemáticas. Porén non hai unha liña clara de separación entre a matemática pura e a aplicada e con frecuencia descóbrense aplicacións prácticas a aquilo que comezou sendo matemática pura[18].
Etimoloxía
Pitágoras escribindo música no fresco A Escola de Atenas de Rafael.
A palabra matemáticas quere dicir "o que se aprende". Vén do grego μαθηματικός, mathēmatikós, "o que aprende", palabra derivada de μάθημα, máthēma, "coñecemento, estudo, aprendizaxe"[19]. O filósofoneoplatónicoIámblico, na súa obra De vita pythagorica, explica que na comunidade pitagórica había dúas clases de membros: os matemáticos, mathēmatikoi (coñecedores), cos que Pitágoras compartía o coñecemento; e os acusmáticos, akousmatikoi (oidores), os membros da irmandade que tamén compartían os coñecementos pero dun xeito superficial, sen profundar nas súas razóns[20].
Ata arredor do ano 1700, o vocábulo matemáticas tiña como acepción máis común o de "astroloxía" (ou, ás veces, "astronomía"); o significado foi cambiando gradualmente ata o actual entre aproximadamente 1500 e 1800. Isto provocou erros nas traducións e interpretacións erróneas: é particularmente notoria a advertencia que fai Agostiño de Hipona aos cristiáns prevíndoos dos mathematici co significado de astrólogos o cal, nalgunhas traducións, se interpreta como unha condena das matemáticas.
Definicións de matemáticas
Aristóteles, cuxa definición das matemáticas estivo vixente durante máis de 2.000 anos, e o seu mestre Platón, representados no fresco de Rafael A Escola de Atenas.
A definición dada por Aristóteles das matemáticas como "a ciencia da cantidade" prevaleceu ata o século XVIII[21]. A chegada do século XIX supuxo un aumento do rigor no estudo das matemáticas, nacendo novas disciplinas abstractas coma a teoría de grupos e a xeometría proxectiva nas que non quedaba clara a relación entre cantidade e medida. Como consecuencia, matemáticos e filósofos comezaron a propor novas definicións[22]. Algunhas destas definicións resaltan o carácter dedutivo de moita da matemática, outras salientan a súa abstracción, e hainas que destacan certa temática da propia matemática. Hoxe en día, mesmo entre os matemáticos profesionais, non hai consenso sobre que definición debe prevalecer[8]. Máis aínda, non hai consenso sobre se a matemática é unha arte ou unha ciencia[9]. Un gran número de matemáticos non teñen interese nunha definición das matemáticas, ou considéranas indefiníbeis[8]. Algúns din que "Matemáticas é o que fan os matemáticos"[8].
Os tres tipos principais de definición das matemáticas reciben o nome de loxicista, intuicionista e formalista, cada unha reflectindo diferentes escolas filosóficas de pensamento[23]. Ningunha ten unha ampla aceptación e non parece posíbel unha teoría única que as englobe[23].
Unha definición temperá en termos de lóxica, "a ciencia que obtén conclusións necesarias", deuna Benjamin Peirce en 1870[14], se ben foron Bertrand Russell e Alfred North Whitehead quen estableceron as bases do proxecto filosófico coñecido coma loxicismo, tentando probar que todos os conceptos, afirmacións e principios matemáticos poden ser definidos e probados en termos da lóxica simbólica. A definición de Bertrand Russell de 1903, "toda a matemática é lóxica simbólica", é unha definición loxicista[24].
As definicións intuicionistas, desenvolvidas a partir do traballo do filósofo das matemáticasLuitzen Egbertus Jan Brouwer, identifican as matemáticas con certos fenómenos mentais. Un exemplo de definición intuicionista é: "Matemática é a actividade mental que consiste en tirar conclusións sucesivas, unha tras outra"[23]. Unha peculiaridade do intuicionismo é que rexeita algunhas ideas matemáticas consideradas válidas segundo outras definicións. En particular, mentres que outros filósofos das matemáticas permiten obxectos dos que se pode probar a súa existencia, mesmo se non poden ser construídos, os intuicionistas só aceptan obxectos matemáticos que realmente poden ser construídos.
As definicións formalistas identifican as matemáticas cos seus símbolos e as regras operativas sobre eles. Haskell Curry define as matemáticas simplemente como "a ciencia dos sistemas formais"[25]. Un sistema formal é un conxunto de símbolos e regras que indican como se combinan os símbolos para formar fórmulas. A palabra axioma ten un significado especial nos sistemas formais, diferente do seu significado ordinario de "verdade evidente per se". Nos sistemas formais, un axioma é unha combinación de símbolos incluído nun sistema formal sen necesidade de deducilo usando as regras do sistema.
A inspiración, as matemáticas pura e aplicada, e a estética
Eugene Wigner (á esquerda con Alvin Weinberg) falaba da irrazoábel eficacia das matemáticas nas ciencias.O matemático inglés Godfrey Harold Hardy xustificaba facer matemáticas simplemente pola súa estética.
É moi posíbel que a arte do cálculo fose desenvolvida antes mesmo ca escritura[26], relacionada fundamentalmente co comercio, a agrimensura, a arquitectura e, posteriormente, a astronomía. Actualmente, todas as ciencias aportan problemas que estudan matemáticos, ao mesmo tempo que aparecen novos problemas dentro das propias matemáticas. Por exemplo, o físicoRichard Feynman inventou a integral de camiños da mecánica cuántica, usando unha combinación do razoamento matemático e unha visión física; e a actual teoría de cordas, que aínda está a ser desenvolvida e que trata de unificar as catro forzas fundamentais, continúa inspirando novas matemáticas[27]. Algunhas matemáticas só son relevantes na área na que estaban inspiradas e son aplicadas para outros problemas nese campo. Mais acotío as matemáticas inspiradas nunha área concreta resultan útiles en moitos ámbitos, e inclúense dentro do corpus xeral de conceptos matemáticos. Frecuentemente faise unha distinción entre a matemática pura e a matemática aplicada. Así a todo, a matemática pura ten con frecuencia aplicacións prácticas coma, por exemplo, a teoría de números na criptografía. Este notábel feito é o que Eugene Wigner definiu como «a irrazoábel eficacia das Matemáticas nas Ciencias Naturais»[28]. Como na maioría dos campos do saber, a explosión de coñecementos na era científica levou á especialización: hoxe en día hai centos de áreas especializadas en matemáticas, a última clasificación MSC ten 46 páxinas[29]. Varias áreas das matemáticas aplicadas fusionáronse con outros campos tradicionalmente fóra das matemáticas para se converter en disciplinas independentes, como poden ser a estatística, a investigación de operacións ou a informática.
Para aqueles que senten predilección polas matemáticas hai, con frecuencia, un aspecto estético que define á maioría das matemáticas. Moitos matemáticos falan da elegancia das matemáticas, a súa estética intrínseca e beleza interna. En xeral a simplicidade está moi valorada. Hai beleza nunha demostración simple e elegante, como na demostración de Euclides de que hai infinitos números primos, e nunha elegante análise numérica que acelera o cálculo, así como na transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy na súa obra Apoloxía dun Matemático, expresa a crenza de que estas consideracións estéticas son, en si mesmas, suficientes para xustificar o estudo da matemática pura. Hardy sinala criterios como a relevancia, o inesperado, a inevitabilidade e a economía como factores que contribúen a unha estética matemática[30]. Decotío os matemáticos esfórzanse por achar demostracións que sexan particularmente elegantes, probas que están no "Libro", segundo palabras do prolífico matemático húngaro Paul Erdős[31][32]. A popularidade das matemáticas recreativas é outro signo do pracer que moita xente sente resolvendo problemas matemáticos.
Notación, linguaxe e rigor
Exemplo de notación matemática complexa nunha obra de Russell, no punto concreto onde deduce que 1+1=2.
A maioría da notación matemática que se usa hoxe en día non foi inventada ata o século XVI[33]. Antes diso, as matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba o avance matemático[34]. Euler (1707–1783) foi o responsábel de moitas das notacións que se usan hoxe. A notación moderna fai a matemática moito máis fácil para o profesional, mais os principiantes a encontran complicada. A información está extremadamente comprimida: uns poucos símbolos conteñen unha gran cantidade de información. Ao igual cá notación musical, a moderna notación matemática ten unha sintaxe estrita (que polo seu limitado alcance, varía dun autor a outro e dunha a outra disciplina) e codifica información que sería difícil de escribir doutra maneira.
A linguaxe matemática pode ser difícil de entender para os principiantes. Palabras como "ou" e "só" teñen un significado máis restritivo ca na linguaxe coloquial. Máis aínda, palabras como "aberto" e "corpo" adquiriron uns significados matemáticos especializados. Termos técnicos como "homeomorfismo" e "integrable" teñen significados precisos en matemáticas. Outras frases como "se e só se" son exclusivas da xerga matemática. Hai unha razón para a notación especial e o vocabulario técnico: as matemáticas requiren máis precisión cá linguaxe coloquial. Os matemáticos refírense a esta precisión da linguaxe e da lóxica coma "rigor".
Unha demostración matemática é fundamentalmente unha cuestión de rigor. Partindo de axiomas, os matemáticos demostran os seus teoremas usando un razoamento sistemático. Isto é así para evitar "teoremas" erróneos baseados en intuicións falíbeis, como ten ocorrido moitas veces na historia da materia. O nivel de rigor que se espera nas matemáticas foi variando ao longo do tempo: na Grecia clásica buscábanse argumentos detallados, pero no tempo de Isaac Newton os métodos empregados eran menos rigorosos. Os problemas inherentes ás definicións usadas por Newton levaron a un rexurdimento no século XIX da análise coidadosa e da demostración formal. A febleza do rigor é a causa dalgúns dos máis comúns malentendidos das matemáticas. Hoxe, os matemáticos debaten acerca das demostracións asistidas por ordenador: como os longos resultados producidos son difíciles de verificar; tales probas poderían non ser suficientemente rigorosas.[35]
Os axiomas no pensamento tradicional eran "verdades autoevidentes", mais esa concepción é problemática. A un nivel formal, un axioma non é máis ca unha cadea de símbolos nun sistema axiomático, cun significado intrínseco só no contexto de tódalas fórmulas derivadas dentro dese sistema. O programa de Hilbert tiña como obxectivo dotar as matemáticas dunha base axiomática completa (toda sentenza pode ser probada ou refutada) e probar que dita axiomática era consistente (non ten axiomas contraditorios), pero Gödel demostrou a imposibilidade desta axiomatización cando estableceu o seu primeiro teorema de incompletitude que afirma que un sistema axiomático que tente describir a aritmética, non pode ser consistente e completo á vez.[36] Con todo, nalgunha axiomatización as matemáticas redúcense (cando menos o seu contido formal) a non máis que teoría de conxuntos, no sentido de que toda proposición ou demostración pode ser formulada dentro da teoría de conxuntos[37].
Gauss referíase ás matemáticas como "A Raíña das Ciencias"[13]. No latín orixinal Regina Scientiarum, e tamén no alemánKönigin der Wissenschaften, a palabra correspondente a ciencia ten o significado de "campo de coñecemento". Por suposto, as matemáticas son, neste sentido, un campo de coñecemento. A irrupción do método baconiano trae coma consecuencia a especialización, restrinxindo o significado de "ciencia" ás ciencias naturais, contrapoñéndoa ao escolasticismo, o método aristotélico de investigación a partir do primeiro principio. É indubidábel que o papel da experimentación empírica e a observación é insignificante en matemáticas, en contra do que ocorre nas ciencias naturais coma a psicoloxía, a bioloxía ou a física. Albert Einstein afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16]. Máis recentemente, Marcus du Sautoy chamou ás matemáticas "a Raíña da Ciencia... a principal forza impulsora do descubrimento científico" [39].
Imre Lakatos, lóxico e filósofo das matemáticas que propuxo unha versión especial do falsacionismo para as matemáticas.
Moitos filósofos cren que as matemáticas non son falsaciábeis experimentalmente, e por tanto non son unha ciencia segundo a definición de Karl Popper.
[40]. Porén, nos anos trinta do século XX, os teoremas de incompletitude de Gödel convenceron a moitos matemáticos de que as matemáticas non poden reducirse só á lóxica, e Karl Popper concluíu que "a maioría das teorías matemáticas son, coma as da física e da bioloxía, hipotético-dedutivas: as matemáticas puras por tanto tornan a estar moito máis preto das ciencias naturais cuxas hipóteses son conxecturas, ca o que semellaba non hai moito"[41]. Outros pensadores, especialmente Imre Lakatos, teñen aplicado unha versión específica do falsacionismo para as matemáticas.
Unha visión alternativa é a de que certos campos científicos (coma a física teórica) son matemáticas con axiomas que tentan corresponder á realidade. De feito, o físico teórico J. M. Ziman propón que ciencia é coñecemento público e, por tanto, inclúe ás matemáticas[42]. En calquera caso, as matemáticas teñen moito en común con moitos campos das ciencias físicas, principalmente a exploración das consecuencias lóxicas das hipóteses asumidas. A intuición e a experimentación tamén xogan un papel na formulación de conxecturas, tanto nas matemáticas coma nas outras ciencias. As matemáticas experimentais continúan gañando importancia dentro das matemáticas, e a computación e a simulación xogan un papel crecente nas ciencias e nas matemáticas, atenuando a obxección de que as matemáticas non usan o método científico.
En 2002Stephen Wolfram sostén, no seu libro Un novo tipo de ciencia, que a matemática computacional merece ser explorada empiricamente coma un campo científico[43].
As opinións dos matemáticos sobre este asunto son variadas. Moitos cren que chamarlle ciencia ás matemáticas diminúe a importancia da súa faceta estética e o da súa historia coma unha das sete artes liberais tradicionais; outros pensan que ignorar as conexións coas ciencias é tornarse cego ao feito de que a interrelación entre as matemáticas e as súas aplicacións na ciencia e enxeñería ten provocado moitos desenvolvementos nas matemáticas. As diferenzas destes dous puntos de vista reflíctense no debate filosófico sobre se as matemáticas se crean (é unha arte) ou se descobren (é unha ciencia). Ë habitual ver universidades onde existe unha división nomeada Ciencia e Matemáticas, indicando que os dous campos son afíns pero non coincidentes. Na práctica, os matemáticos agrúpanse tipicamente cos científicos nun sentido amplo, pero sepáranse deles a niveis máis finos. Este é un dos moitos temas tratados na filosofía das matemáticas.
Alén de recoñecer cantidades de obxectos, o home prehistórico aprendeu a contar cantidades abstractas coma o tempo: días, estacións, anos. A aritmética elemental (adición, subtracción, multiplicación e división) tamén foi conquistada naturalmente. Crese que ese coñecemento é anterior á escrita e, por iso, non hai rexistros históricos.
O primeiro obxecto coñecido que atesta a habilidade de cálculo é o óso de Ishango, unha fíbula de babuíno con riscos que indican unha contabilidade, que data de hai 20.000 anos[44].
O desenvolvemento da matemática impregnou as primeiras civilizacións e tornou posíbel a aparición de aplicacións concretas: o comercio, as medicións de terras para a agricultura, a previsión de eventos astronómicos, e ás veces, a realización de rituais relixiosos. As tres primeiras aplicacións poden ser relacionadas en certa forma coa división ampla das matemáticas coma o estudo da estrutura, do espazo e do cambio.
A partir do 3000 a.C., cando babilonios e exipcios comezaron a usar aritmética e xeometría en construcións, astronomía e algúns cálculos financeiros, a matemática comezou a se tornar un pouco máis sofisticada.
O estudo de estruturas matemáticas iniciouse coa aritmética dos números naturais, seguiu coa extracción de raíces cadradas e cúbicas, resolución dalgunhas ecuacións polinómicas de segundo grao, trigonometría e fraccións, entre outras materias.
Representación de Euclides en mármore, no Museo dell'Opera del Duomo de Florencia.
Tales desenvolvementos son atribuídos ás civilizacións acadia, babilónica, exipcia, chinesa, ou aínda ás do val do Indo. Arredor de 600 a.C., na civilización grega, a matemática, influenciada por traballos anteriores e pola filosofía, tornouse máis abstracta. Distinguíronse dúas ramas: a aritmética e a xeometría. Formalizáronse as xeneralizacións, por medio de definicións axiomáticas dos obxectos de estudo, e as demostracións. A obra Os elementos de Euclides é un rexistro importante do coñecemento matemático na Grecia do século III a.C.
A civilización musulmá permitiu que a herdanza grega fose conservada e propiciou a súa confrontación cos descubrimentos chineses e hindús, en particular na cuestión da representación numérica. Os traballos matemáticos desenvolvéranse considerabelmente tanto na trigonometría, coma na introdución das funcións trigonométricas e na aritmética. Desenvolveuse amais a análise combinatoria, a análise numérica e a álxebra de polinomios.
Na época do Renacemento, unha parte dos textos árabes foi estudada e traducida ao latín. A pescuda matemática concentrouse entón en Europa. O cálculo alxébrico desenvolveuse rapidamente cos traballos dos franceses François Viète e René Descartes. Nesa época tamén foron creadas as táboas de logaritmos, extremadamente importantes para o avance científico dos séculos XVI ao XX, sendo substituídas apenas despois da invención das calculadoras. A percepción de que os números reais non son suficientes para a resolución de certas ecuacións tamén data do século XVI. Xa nesa época comezou o desenvolvemento dos chamados números complexos, apenas cunha definición e catro operacións. Unha comprensión máis profunda dos números complexos só foi acadada no século XVIII con Euler.
No inicio do século XVII, Isaac Newton e Leibniz descubriran o cálculo infinitesimal e introduciran a definición de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX a matemática desenvolveuse fortemente coa introdución de novas estruturas abstractas, coma os grupos, grazas aos traballos de Évariste Galois sobre a resolubilidade de ecuacións polinómicas, e os aneis definidos nos traballos de Richard Dedekind.
O século XIX ve con Cantor e Hilbert o desenvolvemento dunha teoría axiomática sobre todos os obxectos estudados e a investigación dos fundamentos matemáticos[45]. Este desenvolvemento da axiomática conducirá a varios matemáticos do século XX a buscar definir todas as matemáticas coa axuda dunha linguaxe, a lóxica matemática.
O século XX coñeceu un forte desenvolvemento das matemáticas cunha especialización crecente dos seus dominios e o nacemento de numerosas ramas novas coma, por exemplo, a teoría da medida, a teoría espectral, a topoloxía alxébrica e a xeometría alxébrica. A informática tivo un grande impacto sobre a investigación: dunha banda, facilitou a comunicación e compartir os coñecementos, e doutra, forneceu dunha formidábel ferramenta para a confrontación con exemplos. Este movemento levou dun xeito natural á modelización e á numerización.
A comprensión e descrición do cambio en variábeis mensurábeis é o tema central das ciencias naturais e o cálculo. Para resolver problemas que dirixen en forma natural cara ás relacións entre unha cantidade e a súa taxa de cambio, e das solucións a estas ecuacións, estúdanse as ecuacións diferenciais.
Os números que se usan para representar as cantidades continuas son os números reais. Para estudar os procesos de cambio utilízase o concepto de función matemática. Os conceptos de derivada e integral, introducidos por Isaac Newton e Leibniz, xogan un papel clave neste estudo, que se denomina análise.
Por razóns matemáticas, é conveniente para moitos fins introducir os números complexos, o que dá lugar á análise complexa.
A análise funcional consiste en estudar problemas cuxa incógnita é unha función, pensándoa como un punto dun espazo funcional abstracto.
Campos importantes en matemáticas aplicadas son a probabilidade e a estatística, que permiten a descrición, a análise e a predición de fenómenos que teñen variábeis aleatorias e que se usan en todas as ciencias.
A análise numérica investiga os métodos para realizar os cálculos en ordenadores.
Divisións e ligazóns
As numerosas ramas da matemática están moi interrelacionadas, velaquí unha lista de seccións que podemos considerar no seu estudo:
No tocante á metodoloxía, outra división simple da matemática establece que esta pode ser pura, cando se consideran as magnitudes ou cantidades abstractamente, sen relación á materia; ou aplicada, cando se tratan as magnitudes coma substancia de corpos materiais, e por consecuencia relaciónase con consideracións físicas.
↑Real Academia Galega (ed.). "matemático -a". Dicionario da RAG. Arquivado dende o orixinal o 18 de novembro de 2013. Consultado o 5 de maio de 2013. Ciencia que se ocupa das propiedades dos números, das figuras xeométricas etc., das súas relacións e da súa aplicación a outras ciencias e no que se engloban a aritmética, a xeometría, a álxebra, a trigonometría etc.
↑ 3,03,1Oxford University Press, ed. (2012). "mathematics, n.". Oxford English Dictionary(en inglés). Consultado o 16 xuño 2012. A ciencia do espazo, o número, a cantidade e o axuste, cuxos métodos implican o uso de razoamento lóxico e de notación simbólica, e que inclúe xeometría, aritmética, álxebra e análise.
↑Kneebone, G.T. (1963). Dover, ed. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey(en inglés). pp. 4. ISBN0-486-41712-3. Matemáticas ... é simplemente o estudo das estruturas abstractas, ou padróns formais de conectividade.
↑LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Cengage Learning, ed. Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change(en inglés). pp. 2. ISBN1-4390-4957-2. Calculus é o estudo do cambio—como cambian as cousas, e como de rápido o fan.
↑Ramana (2007). Tata McGraw–Hill Education, ed. Applied Mathematics(en inglés). p. 2.10. ISBN0-07-066753-5. O estudo matemático do cambio, o movemento, o crecemento e o decrecemento é calculus.
↑Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". En Springer. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research(en inglés). pp. 7. ISBN3-642-19532-6.
↑ 8,08,18,28,3Mura, Robert (decembro 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics(en inglés)25 (4): 375–385.
↑ 9,09,1Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Springer, ed. Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry(en inglés). pp. 9. ISBN3-0348-0229-3. É necesario, primeiramente, preguntar cal é o significado de "matemáticas" en xeral. Ilustres expertos debateron este asunto ata a saciedade e aínda non se ten acadado consenso sobre se a matemática é unha ciencia natural, unha rama das humanidades, ou unha forma de arte.
↑Steen, Lynn (1988). "The Science of Patterns". Science(en inglés)240 (29 abril): 611–616. Arquivado dende o orixinal o 28 de outubro de 2010. Consultado o 5 de maio de 2013. Resumo do artigo na web da Association for Supervision and Curriculum Development
↑Galilei, Galileo (1623). "Capitolo VI". En Accademia dei Lincei. Il Saggiatore(en italiano). Roma. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
↑ 14,014,1*Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ed. "Linear associative algebra". American Journal of Mathematics(en inglés) (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.) (Johns Hopkins University) 4 (1–4): 97–229. doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. GoogleEprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, GoogleEprint.
↑Hilbert, David (reimpr. 1992). Birkhäuser, ed. Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (cunha introdución en inglés por David E. Rowe)(en alemán). Basel.
↑Franklin, James (2009). "Aristotelian Realism". En Elsevier, Andrew D. Irvine. Philosophy of Mathematics(en inglés). Oxford. p. 104. ISBN978-0-444-51555-1. Consultado o 16 de maio de 2013.
↑ 23,023,123,2Snapper, Ernst (1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine(en inglés)52 (4): 207–16. doi:10.2307/2689412.
↑Kline, Morris (1990). Oxford University Press, ed. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times(en inglés). USA. pp. 140, 261. ISBN0-19-506135-7.
↑Peterson, Ivars (1988). Freeman, ed. The Mathematical Tourist(en inglés). p. 4. ISBN0-7167-1953-3. Uns poucos lamentan que o programa informático non pode ser verificado axeitadamente (en referencia á demostración de Haken-Apple do Teorema das Catro Cores)
↑Suppes, Patrick (1972). Dover, ed. Axiomatic Set Theory(en inglés). p. 1. ISBN0-486-61630-4. Entre as moitas ramas das matemáticas modernas, a teoría de conxuntos ocupa un lugar único: con moi poucas raras excepcións, os entes estudados e analizados en matemáticas poden ser contemplados como certos conxuntos particulares de clases de obxectos
↑Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Springer, ed. Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists(en inglés). p. 228.
↑Popper, Karl R. (1995). Routledge, ed. "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years.(en inglés). p. 56. ISBN0-415-13548-6.
↑The Mathematics Department of The State University of New York at Buffalo (ed.). "An Old Mathematical Object"(en inglés). Consultado o 26 de maio de 2013.
.jpg)
.png)
