Para nocións básicas de grupos, ver Grupo (matemáticas).

Na álxebra abstracta, a teoría de grupos estuda as estruturas alxébricas coñecidas como grupos. O concepto de grupo é fundamental para a álxebra abstracta: outras estruturas alxébricas coñecidas, como os aneis, os corpos e os espazos vectoriais, pódense ver como grupos dotados de operacións e axiomas adicionais. Os grupos alxébricos lineares e os grupos de Lie son dúas ramas importantes da teoría de grupos.

Un dos logros matemáticos máis importantes do século XX ^[1] foi o esforzo colaborativo, ocupando máis de 10.000 páxinas de revistas e publicado na súa maioría entre 1960 e 2004, que culminou cunha clasificación completa de grupos simples finitos.

A teoría de grupos ten tres fontes históricas principais: a teoría dos números, a teoría das ecuacións alxébricas e a xeometría. A teoría de números foi iniciada por Leonhard Euler, e desenvolvida polo traballo de Gauss sobre a aritmética modular e os grupos aditivos e multiplicativos relacionados con corpos cadráticos. Os primeiros resultados sobre os grupos de permutación foron obtidos por Lagrange, Ruffini e Abel na súa procura de solucións xerais de ecuacións polinómicas de alto grao. Évariste Galois acuñou o termo "grupo" e estableceu unha conexión, agora coñecida como teoría de Galois, entre a incipiente teoría de grupos e a teoría de corpos. En xeometría, os grupos primeiro cobraron importancia na xeometría proxectiva e, máis tarde, na xeometría non euclidiana. O programa Erlangen de Felix Klein proclamou que a teoría de grupos é o principio organizador da xeometría.

Galois, na década de 1830, foi o primeiro en empregar grupos para determinar a resolubilidade das ecuacións polinómicas. Arthur Cayley e Augustin Louis Cauchy impulsaron estas investigacións máis alá creando a teoría dos grupos de permutación. A segunda fonte histórica dos grupos procede de situacións xeométricas. Nun intento de abordar posibles xeometrías (como a xeometría euclidiana, hiperbólica ou proxectiva) usando a teoría de grupos, Felix Klein iniciou o programa Erlangen. Sophus Lie, en 1884, comezou a usar grupos (agora chamados grupos de Lie) ligados a problemas analíticos. En terceiro lugar, os grupos foron, ao principio, implicitamente e máis tarde explicitamente, utilizados na teoría alxébrica de números.

O diferente alcance destas primeiras fontes deu lugar a diferentes nocións de grupos. A teoría dos grupos unificouse a partir de 1880. Desde entón, o impacto da teoría de grupos foi crecendo constantemente, dando lugar ao nacemento da álxebra abstracta a principios do século XX, a teoría da representación e outros moitos dominios derivados. A clasificación dos grupos finitos simples é un amplo traballo de mediados do século XX, que clasifica todos os grupos finitos simples.

A primeira clase de grupos en someterse a un estudo sistemático foron os grupos de permutacións. Dado calquera conxunto X e unha colección G de bixeccións de X en si mesmo (coñecidas como permutacións) que está pechada baixo composicións e inversas, G é un grupo que actúa sobre X. Se X consta de n elementos e G consta de todas as permutacións, G é o grupo simétrico S_n; en xeral, calquera grupo de permutación G é un subgrupo do grupo simétrico de X. Unha construción temperá debida a Cayley exhibía calquera grupo como un grupo de permutacións, actuando sobre si mesmo (X = G) por medio da representación regular esquerda.

A seguinte clase importante de grupos vén dada por grupos matriciales, ou grupos lineares. Aquí G é un conxunto formado por matrices invertibles de orde n sobre un corpo K que está pechado baixo o produto e a inversa. Tal grupo actúa sobre o espazo vectorial n dimensional Kⁿ mediante transformacións lineares. Esta acción fai que os grupos de matrices sexan conceptualmente similares aos grupos de permutación, e a xeometría da acción pode ser aproveitada para establecer propiedades do grupo G.

Os grupos de permutacións e os grupos de matrices son casos especiais de grupos de transformación: grupos que actúan sobre un determinado espazo X conservando a súa estrutura inherente. No caso dos grupos de permutación, X é un conxunto; para grupos de matrices, X é un espazo vectorial. O concepto de grupo de transformación está intimamente relacionado co concepto de grupo de simetría: os grupos de transformación constan frecuentemente de todas as transformacións que conservan unha determinada estrutura.

A maioría dos grupos considerados na primeira etapa do desenvolvemento da teoría de grupos foron "concretos", realizándose a través de números, permutacións ou matrices. Non foi ata finais do século XIX cando comezou a implantarse a idea dun grupo abstracto, onde "abstracto" significa que se ignora a natureza dos elementos de tal xeito que dous grupos isomórficos son considerados como o mesmo grupo. Unha forma típica de especificar un grupo abstracto é mediante unha presentación por xeradores e relacións,

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Unha fonte significativa de grupos abstractos vén dada pola construción dun grupo cociente, G/H, dun grupo G por un subgrupo H normal. Os grupos de clases de corpos numéricos alxébricos foron un dos primeiros exemplos de grupos cociente, de moito interese na teoría de números. Se un grupo G é un grupo de permutación nun conxunto X, o grupo cociente G/H xa non actúa sobre X; mais a idea dun grupo abstracto permite non preocuparse por esta discrepancia.

O cambio de perspectiva de grupos concretos a abstractos fai que sexa natural considerar as propiedades de grupos que son independentes dunha realización particular, ou en linguaxe moderna, invariantes baixo isomorfismo, así como as clases de grupo cunha determinada propiedade: grupos finitos, grupos periódicos, grupos simples, grupos solucionables, etc. En lugar de explorar as propiedades dun grupo individual, búscase establecer resultados que se apliquen a toda unha clase de grupos. O novo paradigma foi de máxima importancia para o desenvolvemento das matemáticas: presaxiou a creación da álxebra abstracta nas obras de Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether e outros. 

Unha elaboración importante do concepto de grupo ocorre se G está dotado dunha estrutura adicional, en particular, dun espazo topolóxico, unha variedade diferenciable ou unha variedade alxébrica. Se as operacións de grupo m (multiplicación) e i (inversión),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

son compatibles con esta estrutura, é dicir, son mapas continuos, suaves ou regulares (no sentido de xeometría alxébrica), entón G é un grupo topolóxico, un grupo de Lie ou un grupo alxébrico. ^[2]

Os grupos topolóxicos forman un dominio natural para a análise harmónica abstracta, mentres que os grupos de Lie son os piares da xeometría diferencial e da teoría da representación. Determinadas cuestións de clasificación que non se poden resolver en xeral pódense abordar e resolver para subclases especiais de grupos. Así, os grupos de Lie conectados e compactos clasificáronse completamente. Unha tendencia relativamente recente na teoría dos grupos finitos explota as súas conexións con grupos topolóxicos compactos (grupos profinitos): por exemplo, un único grupo analítico p-ádico G ten unha familia de cocientes que son p grupos finitos de varias ordes e as propiedades de G tradúcense nas propiedades dos seus cocientes finitos.

Durante o século XX conseguiuse a clasificación completa dos grupos finitos simples, o que significa que agora se coñecen todos aqueles grupos simples a partir dos que se poden construír todos os grupos finitos.

Os grupos pódense describir de diferentes xeitos. Os grupos finitos pódense describir escribindo a táboa de grupos formada por todas as posibles multiplicacións g • h. Unha forma máis compacta de definir un grupo é mediante elementos xeradores e as súas relacións, tamén chamada presentación dun grupo. Dado calquera conxunto F de xeradores ${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$, o grupo libre xerado por F sobrexecta ao grupo G. O kernel deste mapa chámase subgrupo de relacións, xerado por algún subconxunto D. A presentación adoita denotarse por ${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$ Por exemplo, a presentación do grupo ${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$ describe un grupo isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$ Unha cadea formada por símbolos xeradores e os seus inversos chámase palabra.

Dado un grupo G, a teoría da representación pregúntase que representacións de G existen. Hai varios escenarios, e os métodos empregados e os resultados obtidos son bastante diferentes en cada caso: a teoría da representación de grupos finitos e as representacións de grupos de Lie son dous subdominios principais da teoría. A totalidade das representacións está rexida polos caracteres do grupo. Por exemplo, os polinomios de Fourier pódense interpretar como os caracteres de U(1), o grupo de números complexos de valor absoluto 1, que actúan no espazo L² das funcións periódicas.

Un grupo de Lie é un grupo que tamén é unha variedade diferenciable, coa propiedade de que as operacións do grupo son compatibles coa estrutura suave.

A teoría combinatoria de grupos estuda os grupos desde a perspectiva de xeradores e relacións.^[3] É particularmente útil cando se cumpren os supostos de finitude, por exemplo grupos finitamente xerados ou grupos finitamente presentados (é dicir, ademais, as relacións son finitas). Esta área fai uso da conexión de gráficos a través dos seus grupos fundamentais. Por exemplo, pódese demostrar que cada subgrupo dun grupo libre é libre.

A teoría xeométrica de grupos ataca os problemas desde un punto de vista xeométrico, vendo os grupos como obxectos xeométricos ou ben atopando obxectos xeométricos axeitados sobre os que actúa un grupo. ^[4] A primeira idea realízase mediante o grafo de Cayley, cuxos vértices corresponden a elementos do grupo e as arestas corresponden á multiplicación pola dereita do grupo.

Case todas as estruturas da álxebra abstracta son casos especiais de grupos. Os aneis, por exemplo, pódense ver como grupos abelianos (correspondentes á suma) xunto cunha segunda operación (correspondente á multiplicación). Polo tanto, os argumentos teóricos de grupo subxacen en gran parte da teoría desas entidades.

A teoría de Galois utiliza grupos para describir as simetrías das raíces dun polinomio (ou máis precisamente os automorfismos das álxebras xeradas por estas raíces). O teorema fundamental da teoría de Galois proporciona un vínculo entre as extensións de corpo alxébrico e a teoría de grupos.

A topoloxía alxébrica é outro dominio que asocia de forma destacada os grupos aos obxectos nos que a teoría está interesada. Alí, os grupos úsanse para describir certos invariantes de espazos topolóxicos. Chámanse "invariantes" porque se definen de tal xeito que non mudan se o espazo está sometido a algunha deformación. Por exemplo, o grupo fundamental "conta" cantos camiños no espazo son esencialmente diferentes. A conxectura de Poincaré, probada en 2002/2003 por Grigori Perelman, é unha aplicación destacada desta idea.

A xeometría alxébrica tamén usa a teoría de grupos de moitas maneiras. Unha delas son as variedades abelianas. Estúdase con especial detalle o caso unidimensional, a saber, as curvas elípticas e son interesantes tanto na teoría como na práctica.^[5]

A teoría alxébrica de números fai uso dos grupos para algunhas aplicacións importantes. Por exemplo, a fórmula do produto de Euler ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

capta o feito de que calquera número enteiro descomponse dun xeito único en números primos. O fracaso desta afirmación para aneis máis xerais orixina grupos de clases e números primos regulares, que aparecen no tratamento de Kummer do último teorema de Fermat.

A análise dos grupos de Lie e outros grupos denomínase análise harmónica.

En combinatoria, a noción de grupo de permutación e o concepto de acción grupal úsanse a miúdo para simplificar a contaxe dun conxunto de obxectos.

• Borel, Armand (1991). Linear algebraic groups. Graduate Texts in Mathematics 126 (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97370-8. MR 1102012. doi:10.1007/978-1-4612-0941-6. 
• Carter, Nathan C. (2009). Visual group theory. Classroom Resource Materials Series. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-757-1. MR 2504193. 
• Cannon, John J. (1969). Computers in group theory: A survey. Communications of the ACM 12. pp. 3–12. MR 0290613. doi:10.1145/362835.362837. 
• Frucht, R. (1939). Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe. Compositio Mathematica 6. pp. 239–50. ISSN 0010-437X. Arquivado dende o orixinal o 2008-12-01. 
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006). Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43. pp. 305–364. MR 2223010. doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6. .
• Judson, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: Theory and Applications. 
• Kleiner, Israel (1986). The evolution of group theory: a brief survey. Mathematics Magazine 59. pp. 195–215. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690312. MR 863090. doi:10.2307/2690312. 
• La Harpe, Pierre de (2000). Topics in geometric group theory. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-31721-2. 
• Livio, M. (2005). The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry. Simon & Schuster. ISBN 0-7432-5820-7. .
• Mumford, David (1970). Abelian varieties. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-560528-0. OCLC 138290. 
• Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
• Rotman, Joseph (1994). An introduction to the theory of groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.  A standard contemporary reference.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-41158-1. 
• Scott, W. R. (1987) [1964]. Group Theory. New York: Dover. ISBN 0-486-65377-3.  Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• Shatz, Stephen S. (1972). Profinite groups, arithmetic, and geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08017-8. MR 0347778. 

• en:List of group theory topics
• en:Examples of groups

• History of the abstract group concept
• Higher dimensional group theory.
• Plus teacher and student package: Group Theory
• Burnside, William (1911), "Groups, Theory of", en Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica 12 (11ª ed.), Cambridge University Press (en inglés), pp. 626–636