Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto (${\displaystyle A}$) e dúas operacións: chamadas habitualmente suma e produto: ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$; de tal xeito que ${\displaystyle (A,+)}$ é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos ${\displaystyle 0}$), e o produto ${\displaystyle \cdot }$ é asociativo, ten un elemento neutro (que designamos ${\displaystyle 1}$) e ten a propiedade distributiva respecto da suma.

Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo.

Se o anel non posúe un elemento neutro para o produto, chamarase rng.

Ao anel aquí definido algúns autores o denominan anel unitario (ou anel con unidade).

Sexa ${\displaystyle A}$ un conxunto non baleiro, e sexan ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$ dúas operacións binarias en ${\displaystyle A}$, dise que o conxunto ${\displaystyle (A,+,\cdot )\,}$^[a] é un anel se se cumpren as seguintes propiedades:

1.	${\displaystyle A}$ é pechado baixo a operación ${\displaystyle +}$.	${\displaystyle \forall a,b\in A,a+b\in A}$
2.	A operación ${\displaystyle +}$ é asociativa.	${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a+b)+c=a+(b+c)}$
3.	A operación ${\displaystyle +}$ ten 0 como elemento neutro.	${\displaystyle \forall a\in A,a+0=0+a=a}$[b]
4.	Existe un elemento inverso para ${\displaystyle +}$.	${\displaystyle \forall a\in A,\exists b\in A,a+b=b+a=n}$

^[c]

Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:

5.

A operación ${\displaystyle +}$ é conmutativa.

${\displaystyle \forall a,b\in A,a+b=b+a}$

Para definir un anel, é necesario agregar catro condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:

6.	${\displaystyle A}$ é pechado baixo a operación ${\displaystyle \cdot }$.	${\displaystyle \forall a,b\in A,a\cdot b\in A}$
7.	A operación ${\displaystyle \cdot }$ é asociativa.	${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
8.	A operación ${\displaystyle \cdot }$ ten 1 como identidade multiplicativa.	${\displaystyle \forall a\in A,a\cdot 1=1\cdot a=a}$.[d] [e]
9.	A operación ${\displaystyle \cdot }$ é distributiva respecto de ${\displaystyle +}$.	${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\quad \left\{{\begin{array}{l}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\\(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\\\end{array}}\right.}$

E agregando unha décima condición, defínese un anel conmutativo:

10.

A operación ${\displaystyle \cdot }$ é conmutativa.

${\displaystyle \forall a,b\in A,a\cdot b=b\cdot a}$

Na terminoloxía deste artigo, defínese que un anel ten unha identidade multiplicativa, mentres que unha estrutura coa mesma definición axiomática mais sen o requisito dunha identidade multiplicativa chámase, pola contra, rng (non é un erro, sería ring sen o "i"). Por exemplo, o conxunto de enteiros pares cos usuais + e ${\displaystyle \cdot }$ é un rng, mais non un anel. Moitos autores aplican o termo anel sen esixir unha identidade multiplicativa e falan de anel con unidade ou anel unitario cando consideran que inclúe a identidade multiplicativa.

Incídese neste aspecto da nomenclatura xa comentado na introdución porque nas diversas páxinas da Galipedia poderá aparecer con ambos os nomes segundo as fontes do autor.

Un anel ${\displaystyle A}$ é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condicións:

• ${\displaystyle A}$ é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0.
• ${\displaystyle A}$ é un monoide para a multiplicación.
• A multiplicación é distributiva (polos dous lados) en relación á adición.

O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:

1. Os números enteiros están pechados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
2. A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento inverso para a suma (inverso aditivo): para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b = 0.
5. A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b = b + a.
6. Os números enteiros están pechados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
7. A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 = a.
9. A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Outros exemplos

• O conxunto dos enteiros gaussianos ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\quad {\text{ onde }}i^{2}=-1.}$, ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ é un subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
• O conxunto das matrices cadradas 2-por-2 con coeficientes nun corpo F ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}}$, coa suma de matrices e multiplicación de matrices é un anel non conmutativo.
• O conxunto ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ dos restos módulo 6; coa adición e multiplicación de restos; é un anel finito con divisores de 0.
• O conxunto ${\displaystyle F[x]}$ dos polinomios con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, conxunto dos enteiros, coa adición e multiplicación. Véxase: anel de polinomios.

• Elemento cero: denotado por ${\displaystyle 0}$. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. ${\displaystyle 0x=0\;\forall x\in A}$ A súa demostración sería: ${\displaystyle 0x=(0+0)x=0x+0x}$. Logo ${\displaystyle 0x=0x+0x}$. Restando o inverso aditivo de ${\displaystyle 0x}$, que existe dado que A é un grupo para a suma, ${\displaystyle 0x-0x=0x}$

Pero ${\displaystyle 0x-0x=0}$. Finalmente ${\displaystyle 0=0x\forall x\in A}$

• Elemento unitario ou identidade: se un elemento, que denotamos 1, cumpre ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario ou identidade. Úsase identidade cando se quere evitar a confusión entre elemento unitario e unidade (unit en inglés, elementos con inverso multiplicativo).

O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ): Demostración: Sexa ${\displaystyle a\in Aa=a1=a0=0}$ Logo, ${\displaystyle \forall a\in A,a=0}$

• Inverso multiplicativo: ${\displaystyle b}$ é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de ${\displaystyle a}$ se ${\displaystyle b\cdot a=1}$. Así mesmo, ${\displaystyle c}$ é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de ${\displaystyle a}$ se ${\displaystyle a\cdot c=1}$. Un elemento ${\displaystyle a^{-1}}$ dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de ${\displaystyle a}$ se ${\displaystyle a^{-1}}$ é inverso pola esquerda de ${\displaystyle a}$ e inverso pola dereita de ${\displaystyle a}$, é dicir, ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1}$. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existise outro, "este deixaría de ser inverso").

• Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
• Divisor de cero: un elemento ${\displaystyle a\neq 0}$ é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.
• Elemento regular: un elemento ${\displaystyle a\neq 0}$ dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.
• Elemento idempotente: é calquera elemento ${\displaystyle e}$ do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que ${\displaystyle e\cdot e=e}$ (isto adóitase escribir como ${\displaystyle e^{2}=e}$). O cero é sempre idempotente nun anel, e tamén o 1 é idempotente.
• Elemento nilpotente (ou nihilpotente): é calquera elemento ${\displaystyle x}$ do anel para o que existe un número natural ${\displaystyle n}$ de forma que ${\displaystyle x^{n}=0}$ (onde ${\displaystyle x^{n}}$ se define por recorrencia: ${\displaystyle x^{0}=1}$, ${\displaystyle x^{n}=x\cdot x^{n-1}}$). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero.

Algúns tipos destacables de aneis son:

• Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con anel abeliano).
• Anel unitario (definido neste artigo): aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.
• Rng: anel sen identidade multiplicativa.
• Anel de división: é o anel no cal todo elemento, a excepción do 0, ten inverso.
• Anel con leis de simplificación: aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.
• Dominio de integridade: se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).
• Corpo: trátase dun anel de división conmutativo.
• Anel abeliano: é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
• Anel euclidiano (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un anel euclidiano se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:

i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).

ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y).

• n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.

Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios. Fraleigh denomínao dominio euclidiano.

Un subanel ${\displaystyle S}$ dun anel ${\displaystyle R}$ =(A,+,·) é un subconxunto ${\displaystyle S\subset R}$ que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se ${\displaystyle a,b\in S}$, entón ${\displaystyle a+b\in S}$ e ${\displaystyle a\cdot b\in S}$. Se ${\displaystyle 1\in R}$ (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que ${\displaystyle 1\in S}$. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de ${\displaystyle R}$, e so o será se ${\displaystyle R}$ non é unitario.

Un subanel ${\displaystyle S}$ é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se ${\displaystyle R\neq S}$.

Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, ${\displaystyle (S,+)}$ é un subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$.

Pero na Teoría de aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de ideal.

Un subconxunto ${\displaystyle I\subset R}$ é un ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se ${\displaystyle (I,+)}$ é un subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$ e dados calquera ${\displaystyle r\in R}$ e ${\displaystyle x\in I}$ tense que ${\displaystyle r\cdot x\in I}$.

Un subconxunto ${\displaystyle I\subset R}$ é un ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se ${\displaystyle (I,+)}$ é un subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$ e dados calquera ${\displaystyle r\in R}$ e ${\displaystyle x\in I}$ se ten que ${\displaystyle x\cdot r\in I}$.

Cando un subconxunto ${\displaystyle I}$ é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).

A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.

Un ideal ${\displaystyle I}$ (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, ${\displaystyle I\neq R}$.

O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario ${\displaystyle (R,+,\cdot ,1_{R})}$ denomínase conxunto de unidades (do anel), e denótase por ${\displaystyle U(R)}$.

Se ${\displaystyle I}$ é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle U(R)}$ son as súas unidades ou elementos invertibles, entón ${\displaystyle I\cap U(R)=\varnothing }$, isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.

O centro dun anel ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ (denotado por ${\displaystyle Z(R)}$) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir ${\displaystyle Z(R):=\{r\in R:r\cdot s=s\cdot r,\forall s\in R\}}$. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que ${\displaystyle 0\in Z(R)}$. Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., ${\displaystyle R=Z(R)}$.

• O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.

• Teoría de aneis
• Anel de polinomios