PROFILPELAJAR.COM

Para a novela véxase: Grupo abeliano (novela).

Un grupo abeliano é unha estrutura alxébrica determinada sobre un conxunto G que ten estrutura de grupo e no que a operación interna é conmutativa.

Os grupos abelianos reciben o seu nome en honra ao matemático noruegués Niels Henrik Abel, que os empregou no seu estudo das ecuacións alxébricas resolubles con radicais.^[1] Os grupos que non son conmutativos denomínanse “non abelianos” ou “non conmutativos”.

Definición

Dada unha estrutura alxébrica sobre un conxunto G e cunha operación interna binaria " $\circ$ ", dise que a estrutura $(G,\circ )$ é un grupo abeliano con respecto á operación $\circ$ se:

$(G,\circ )$ ten a estrutura alxébrica de grupo.
$(G,\circ )$ ten a propiedade conmutativa.

Exemplos

Todo grupo cíclico G é abeliano, pois se x, y ∈ G = <a>, x = a^m; y = aⁿ para algúns m, n enteiros, co que xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. En particular, o grupo Z de enteiros coa suma é abeliano, ao igual que o grupo de enteiros módulo n, Z_n.
Os números reais forman un grupo abeliano coa adición, ao igual que os reais non nulos coa multiplicación.
Todo anel é un grupo abeliano con respecto á súa suma. Nun anel conmutativo, os elementos invertibles forman un grupo abeliano coa multiplicación.
Todo subgrupo dun grupo abeliano é normal, e polo tanto, para todo subgrupo hai un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes e sumas directas de grupos abelianos son tamén abelianos.

Propiedades

Se n é un número natural e x un elemento dun grupo abeliano G, pódese definir nx = x + x +... + x (n sumandos), e (−n)x = −(nx), co que G se converte nun módulo sobre o anel Z dos enteiros. De feito, os módulos sobre Z non son outros cós grupos abelianos.
Se f, g: G → H son dous homomorfismos entre grupos abelianos, a súa suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) tamén é un homomorfismo; isto non se cumpre en xeral para os grupos non abelianos. Con esta operación, o conxunto de homomorfismos entre G e H vólvese, entón, un grupo abeliano en si mesmo.

Notas

↑ Encyclopedia of Mathematics. "Abelian group" (en inglés). Consultado o 12 de xullo de 2014.

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.