En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que a_i,j = a_j,i para todo i e j entre 1 e n, onde a_i,j son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.

Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4&6\\4&0&10\\6&10&12\end{pmatrix}}}$

Toda matriz diagonal é simétrica.

• Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
• O conxunto de matrices simétricas de orde n con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión n(n +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde n, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.

Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica ${\displaystyle A}$ e consiste en facer a súa descomposición na forma

${\displaystyle A=ODO^{\mathsf {T}}}$,

onde ${\displaystyle O}$ é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de ${\displaystyle A}$) e onde ${\displaystyle D}$ é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de ${\displaystyle A}$.

Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\rm {i}}\\{\rm {i}}&-1\end{pmatrix}}}$

admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

Denotamos ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{n}}$ o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e ${\displaystyle \lambda _{i}(A)\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, os ${\displaystyle n}$ valores propios de ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}^{n}}$, en orde descendente:

${\displaystyle \lambda _{1}(A)\geqslant \lambda _{2}(A)\geqslant \cdots \geqslant \lambda _{n}(A).}$

Presentamos a función

${\displaystyle \lambda :{\mathcal {S}}^{n}\to \mathbb {R} ^{n}:A\mapsto (\lambda _{1}(A),\ldots ,\lambda _{n}(A))}$

e, para un vector columna ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$, temos ${\displaystyle v^{\mathsf {T}}}$ o vector fila transposto e ${\displaystyle \operatorname {Diag} (v)}$ a matriz diagonal cuxo coeficiente índice ${\displaystyle (i,i)}$ é ${\displaystyle v_{i}}$.

• Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}^{n}}$ son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así, ${\displaystyle A=\operatorname {Diag} (1,2)}$ e ${\displaystyle B=\operatorname {Diag} (2,1)}$ conmutan mais ${\displaystyle \langle A,B\rangle =4}$ difire de ${\displaystyle \lambda (A)^{\mathsf {T}}\lambda (B)=5}$.
• A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{n}}$ (matrices simétricas) de ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se ${\displaystyle A=V\,\operatorname {Diag} (\lambda (A))\,V^{\mathsf {T}}}$ con ${\displaystyle V}$ ortogonal, temos

${\displaystyle \|\lambda (A)\|_{2}=\|\operatorname {Diag} (\lambda (A))\|=\|V\,\operatorname {Diag} (\lambda (A))\,V^{\mathsf {T}}\|=\|A\|,}$

onde ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ e ${\displaystyle \|\cdot \|}$ denotan as normas euclidianas canónicas en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$. Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dan

${\displaystyle \langle A,B\rangle \leqslant \|\lambda (A)\|_{2}\,\|\lambda (B)\|_{2}=\|A\|\,\|B\|.}$

Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{n}}$ ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a ${\displaystyle B}$ anterior por ${\displaystyle -B}$.

• Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya,^[1] sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ increméntase co dos vectores ${\displaystyle [x]}$ e ${\displaystyle [y]}$ obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:

${\displaystyle \forall \,x,y\in \mathbb {R} ^{n}:\ x^{\mathsf {T}}y\leqslant [x]^{\mathsf {T}}[y].}$

Unha matriz simétrica real S de orde n chámase:

• positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se

• definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se

Nota: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Matriz simétrica

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. 

• Teorema espectral.
• Matriz cadrada.
• Matriz antisimétrica.

• Weisstein, Eric W. "Symmetric Matrix". MathWorld.