En matemáticas, un conxunto A é un subconxunto dun conxunto B se todos os elementos de A son tamén elementos de B; B é daquela un superconxunto de A. É posíbel que A e B sexan iguais; se son desiguais, entón A é un subconxunto propio de B. A relación dun conxunto sendo un subconxunto doutro chámase inclusión. A é un subconxunto de B tamén se pode expresar como B inclúe (ou contén) A ou A está incluído (ou contido) en B. Un k-subconxunto é un subconxunto con k elementos.

A relación de subconxuntos define unha orde parcial en conxuntos. De feito, os subconxuntos dun conxunto dado forman unha álxebra de Boole baixo a relación de subconxuntos, coas operacións de intersección e unión, e a propia relación do subconxunto é a relación de inclusión booleana.

Se A e B son conxuntos e cada elemento de A tamén é un elemento de B, daquela:

• A é un subconxunto de B, denotado por ${\displaystyle A\subseteq B}$, ou equivalentemente,
• B é un superconxunto de A, denotado por ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Se A é un subconxunto de B, pero A non é igual a B (é dicir, existe polo menos un elemento de B que non é un elemento de A ), daquela:

• A é un subconxunto propio de B, denotado por ${\displaystyle A\subsetneq B}$, ou equivalentemente,
• B é un superconxunto propio de A, denotado por ${\displaystyle B\supsetneq A.}$

O conxunto baleiro, escrito ${\displaystyle \{\}}$ ou ${\displaystyle \varnothing ,}$ é un subconxunto de calquera conxunto X e un subconxunto propio de calquera conxunto agás el mesmo, a relación de inclusión ${\displaystyle \subseteq }$ é unha orde parcial no conxunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ (o conxunto de partes de S, o conxunto de todos os subconxuntos de S ^[1]) definido por ${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$.

Cando se cuantifica, ${\displaystyle A\subseteq B}$ represéntase como ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\implies x\in B\right).}$^[2]

• Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa intersección é igual a A.

Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa unión é igual a B.

Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• Un conxunto finito A é un subconxunto de B, se e só se a cardinalidade da súa intersección é igual á cardinalidade de A.

Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• O conxunto A = {1, 2} é un subconxunto propio de B = {1, 2, 3}, polo que ambas as expresións ${\displaystyle A\subseteq B}$ e ${\displaystyle A\subsetneq B}$ son verdadeiras.
• Calquera conxunto é un subconxunto de si mesmo, pero non un subconxunto propio. ( ${\displaystyle X\subseteq X}$ é certo, e ${\displaystyle X\subsetneq X}$ é falso para calquera conxunto X.)
• O conxunto {x : x é un número primo maior que 10} é un subconxunto propio de {x : x é un número impar maior que 10}
• O conxunto de números racionais é un subconxunto propio do conxunto de números reais. Neste exemplo, ambos os conxuntos son infinitos, pero o último conxunto ten unha cardinalidade maior que o conxunto anterior.

A inclusión é a orde parcial canónica, no sentido de que todo conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle (X,\preceq )}$ é isomorfo a algunha colección de conxuntos ordenados por inclusión. Os números ordinais son un exemplo sinxelo: se cada n ordinal se identifica co conxunto ${\displaystyle [n]}$ de todos os ordinais menores ou iguais a n, daquela ${\displaystyle a\leq b}$ se e só se ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

Para o conxunto das partes ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$ dun conxunto S, a orde parcial de inclusión é, ata un isomorfismo de orde, o produto cartesiano de ${\displaystyle k=|S|}$ (a cardinalidade de S) copias da orde parcial en ${\displaystyle \{0,1\}}$ para o cal ${\displaystyle 0<1.}$ Isto pódese ilustrar enumerando ${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$, e asociando a cada subconxunto ${\displaystyle T\subseteq S}$ (é dicir, cada elemento de ${\displaystyle 2^{S}}$) a k-tupla de ${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$ dos que a coordenada i é 1 se e só se ${\displaystyle s_{i}}$ é membro de T.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Subconxunto

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. 

• teoría de conxuntos.

• Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.