En álxebra, unha unidade ou elemento invertíbel^[a] dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento u dun anel R é unha unidade se existe v en R tal que

${\displaystyle vu=uv=1,}$

onde 1 é a identidade multiplicativa; o elemento v é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de u.^[1][2] O conxunto de unidades de R forma un grupo R^× baixo a multiplicación, chamado grupo de unidades ou grupo de unidades de R.^[b] Outras notacións para o grupo de unidades son R^∗, U(R).

A identidade multiplicativa 1 e a súa inversa aditiva −1 son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel R é unha unidade: se rⁿ = 1, entón rⁿ⁻¹ é un inverso multiplicativo de r. Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que R^× non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero R no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, R^× = R ∖ {0}) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais R é R ∖ {0} (todos os números agás o cero).

No anel de enteiros Z, as únicas unidades son 1 e −1.

No anel Z/nZ de enteiros módulo n, as unidades son as clases de congruencia (mod n) representadas por enteiros coprimos a n. Constitúen o grupo multiplicativo de números enteiros módulo n.

No anel Z[√3] obtido ao estender Z co enteiro cadrático √3, temos (2 + √3)(2 − √3) = 1, polo que 2 + √3 é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que Z[√3] ten infinitas unidades.

De xeito máis xeral, para o anel de enteiros R nun corpo numérico F, o teorema das unidades de Dirichlet afirma que R^× é isomorfo ao grupo

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$

onde ${\displaystyle \mu _{R}}$ é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en R, e n é o rango do grupo de unidades, con valor

${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$

onde ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de F, respectivamente.

Relacionando esta fórmula co exemplo Z[√3]: o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun) corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$.

Para un anel conmutativo R, as unidades do anel de polinomios R[x] son os polinomios

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$

tal que a₀ é unha unidade en R e os restantes coeficientes ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ son nilpotentes, é dicir, satisfán ${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ para algún N ^[4]. En particular, se R é un dominio, entón as unidades de R[x] son as unidades de R. As unidades do anel da serie formal de potencias ${\displaystyle R[[x]]}$ son as series formais de potencias

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$

tal que a₀ é unha unidade en R. ^[4]

O grupo de unidades do anel M_n(R) de matrices n × n sobre un anel R é o grupo GL_n(R) de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo R, un elemento A de M_n(R) é invertíbel se e só se o determinante de A é invertíbel en R. Nese caso, A⁻¹ pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.

Para os elementos x e y nun anel R, se ${\displaystyle 1-xy}$ é invertíbel, entón ${\displaystyle 1-yx}$ ten inverso ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$; ^[5] esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas: $${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$ Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares.

Un anel conmutativo é un anel local se R ∖ R^× é un ideal máximal.

Como pode verse, se R ∖ R^× é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e R é local xa que un ideal máximal é disxunto de R^×.

Se R é un corpo finito, entón R^× é un grupo cíclico de orde |R| − 1.

Todo homomorfismo de aneis f : R → S induce un homomorfismo de grupos R^× → S^×, xa que f mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos.

O esquema do grupo ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo R, os grupos ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$ e ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$ son canonicamente isomorfos a U(R). Teña en conta que o functor ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ (é dicir, R ↦ U(R) ) é representábel no sentido: ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$ para aneis conmutativos R. Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$ e o conxunto de elementos unidade de R (en contraste, ${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$ representa o grupo aditivo ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos).

Referencias

• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001. 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 
• Watkins, John J. (2007). Topics in commutative ring theory. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12748-4. MR 2330411. 
• Weil, André (1974). Basic number theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5. 

• Anel (álxebra)
• Localización (álxebra conmutativa)
• Inverso multiplicativo modular