Teorema fundamental da aritmética

En matemáticas, e particularmente na teoría dos números, o teorema fundamental da aritmética ou teorema de factorización única afirma que todo número enteiro positivo maior que 1 é un número primo ou ben un único produto de números primos. Por exemplo,

Non existe ningunha outra factorización de 6936 e 1200 en números primos. Como a multiplicación é conmutativa, a orde dos factores é irrelevante; por esta razón, o teorema adoita enunciarse como factorización única agás na orde dos factores.

Aplicacións

Representación canónica dun enteiro positivo

Todo enteiro positivo n > 1 pode ser representado “exactamente dun único xeito” como un produto de potencias de números primos:

onde p1 < p2 < ... < pk son primos e αi son enteiros positivos.

Esta representación chámase representación canónica de n, ou forma estándar[1] de n.

Por exemplo 999 = 33•37, 1000 = 23•53, 1001 = 7•11•13

Os factores p0 = 1 poden inserirse sen cambiar o valor de n (por exemplo, 1000 = 23•30•53). En efecto, calquera número positivo pode ser representado unicamente como un produto infinito tomado sobre todo o conxunto dos números primos,

onde un número finito de αp son enteiros positivos, e o resto son cero. Permitindo expoñentes negativos proporciónase unha forma canónica para os números racionais.

Importancia

O teorema establece a importancia dos números primos. Estes son as “pezas básicas” coas que se “constrúen” os enteiros positivos, no sentido de que todo enteiro positivo pode construírse como produto de números primos dun único xeito.

Coñecer a factorización en primos dun número permite atopar todos os seus divisores, primos ou compostos. Por exemplo, a factorización anteriormente dada de 6936 amosa que calquera divisor positivo 6936 debe ter a forma: , onde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), e 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando o número de opcións independentes obtense un total de divisores positivos

Unha vez que se coñece a factorización en primos de dous números, pódense atopar facilmente o seu máximo común divisor e mínimo común múltiplo. Por exemplo, das factorizacións anteriores de 6936 e 1200 pódese deducir que o seu máximo común divisor é 2³ • 3 = 24. Porén, se non se coñece a factorización en primos, usar o algoritmo de Euclides en xeral require moitos menos cálculos que factorizar os dous números.

O teorema fundamental implica que as funcións aritméticas aditivas e multiplicativas están completamente determinadas polos seus valores nas potencias dos números primos.

Calquera número enteiro n maior que 1 pode escribirse de xeito únic, agás na orde, como un produto de números primos.

Demostración

O teorema foi demostrado por primeira vez por Euclides, aínda que a primeira demostración completa apareceu nas Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.

Aínda que a primeira vista o teorema pareza obvio, non se cumpre en numéricos máis xerais, entre eles moitos aneis de enteiros alxébricos. Ernst Kummer foi o primeiro en decatarse disto en 1843, no seu traballo sobre o último teorema de Fermat. O recoñecemento deste fallo é un dos primeiros avances da teoría dos números alxébricos.

Demostración de Euclides

A demostración faise en dous pasos. No primeiro demóstrase que todo número é un produto de primos (incluído o produto baleiro); no segundo demóstrase que calquera das representacións son iguais.

Descomposición en primos

Suponse que existe algún enteiro positivo que non pode representarse como produto de primos. Entón debe haber un mínimo número n con esa propiedade. Este número n non pode ser 1, pola convención anterior. Tampouco pode ser un primo, porque todo primo é o produto dun único número primo: el mesmo.
Polo tanto, n = ab, onde a e b son enteiros positivos menores que n. Como n é o mínimo enteiro positivo para o que falla o teorema, tanto a como b poden escribirse como produto de primos. Pero entón n = ab tamén pode escribirse como produto de primos, o que é contraditorio.

Unicidade

A demostración da unicidade apóiase no seguinte feito: se un número primo p divide un produto ab, entón divide a a ou divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, suponse que p non divide a, entón p e a son primos entre eles e pola identidade de Bézout existen x e y enteiros tales que px + ay = 1. Multiplicando por b obtense pbx + aby = b, e posto que os dous sumandos do lado esquerdo son divisibles por p, o termo da dereita tamén é divisible por p.

Dados dous produtos de primos que teñan igual resultado, tómase un primo p do primeiro produto. Divide o primeiro produto, e polo tanto tamén o segundo. Polo feito anterior, p debe dividir polo menos un factor do segundo produto; pero os factores son todos primos, logo p debe ser igual a un dos factores do segundo produto. Pódese entón cancelar p de ambos os produtos. Seguindo desta forma cancelaranse todos os factores de ambos os produtos, co que estes deben coincidir exactamente.

Demostración por descenso infinito

Outra proba da unicidade das factorizacións en primos dun enteiro dado utiliza o método do descenso infinito.

Suponse que certo número enteiro se pode escribir como produto de factores primos de polo menos dous xeitos distintos. Entón, debe existir un mínimo enteiro s con esa propiedade. Sexan p1•...•pm e q1•...•qn dúas factorizacións distintas de s. Ningún pi (con 1 ≤ im) pode ser igual a algún qj (con 1 ≤ jn), pois do contrario habería un número menor que s que se podería factorizar de dous xeitos (obtido ao quitar factores comúns a ambos os produtos) contradicindo a suposición anterior. Pódese entón supoñer sen perda de xeneralidade que p1 é un factor primo menor que todos os qj (con 1 ≤ jn). Considerando en particular q1, entón existen enteiros d e r tales que

e 0 < r < p1 < q1 (r non pode ser 0, posto que en tal caso q1 sería un múltiplo de p1 e polo tanto composto). Ao multiplicar ambos lados por s / q1, resulta

O segundo termo da última expresión debe ser igual a un enteiro (pois tamén o son os outros termos), ao que se chamará k; isto é,

de onde se obtén,

O valor dos dous membros da ecuación é obviamente menor que s, mais continúa a ser grande abondo como para ser factorizable. Como r é menor que p1, as dúas factorizacións obtidas en ambos os lados despois de escribri k e r como produto de primos deben ser diferentes. Isto contradí a suposición de que s é o enteiro máis pequeno que se pode factorizar en máis dunha forma. Polo tanto, a suposición inicial debe ser falsa.

Demostración por álxebra abstracta

Sexa n un enteiro. Zn é un grupo finito, polo que ten unha serie de composición. Por definición, os factores nunha serie de composición son simples; polo tanto, na serie de Zn estes deben de ser da forma Zp para algún primo p. Como a orde de Zn é o produto das ordes dos factores da súa serie de composición, isto dá unha factorización de n en números primos. Pero o teorema de Jordan-Hölder afirma que unha serie de composición é única, e polo tanto a factorización de n debe de ser única.

Notas

  1. Hardy & Wright § 1.2

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Read other articles:

American poet This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article is an orphan, as no other articles link to it. Please introduce links to this page from related articles; try the Find link tool for suggestions. (July 2019) This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Rach...

HangoutPoster filmSutradara Raditya Dika Produser Gope T Samtani Sunil Samtani Ditulis oleh Raditya Dika Pemeran Raditya Dika Prilly Latuconsina Soleh Solihun Titi Kamal Mathias Muchus Surya Saputra Dinda Kanya Dewi Gading Marten Bayu Skak Penata musikAndhika TriyadiSinematograferEnggar BudionoPenyuntingRyan PurwokoPerusahaanproduksiRapi FilmsTanggal rilis 22 Desember 2016 22 April 2017 (OIMF)Durasi110 MenitNegara IndonesiaBahasa Indonesia PendapatankotorRp 91,7 miliar Hangout adal...

Biblioteca de Cataluña Biblioteca de Cataluña Entrada principal.UbicaciónPaís  EspañaLocalidad BarcelonaDirección c/ Hospital, 56Coordenadas 41°22′50″N 2°10′13″E / 41.380467, 2.170369Datos generalesTipo Biblioteca públicaFundación 1907AcervoColecciones del acervo Libros, manuscritos, hemeroteca, fotografías, mapas, música, material gráfico, material digitalTamaño 4 401 625 unidades (2020)Información adicionalPresupuesto 7 837...

Казка про попа і наймита його Балдурос. Сказка о попе и о работнике его БалдеВид лялькова анімаціяРежисер Анатолій КарановичСценарист Борис БродськийОлександр ПушкінОператор Михайло Якович,Михайло КаменецькийКомпозитор Микола ПейкоКінокомпанія СоюзмультфільмТривал

Пасифлора інкарнатна Квітка Плід Біологічна класифікація Царство: Рослини (Plantae) Клада: Судинні рослини (Tracheophyta) Клада: Покритонасінні (Angiosperms) Клада: Евдикоти (Eudicots) Клада: Розиди (Rosids) Порядок: Мальпігієцвіті (Malpighiales) Родина: Пасифлорові (Passifloraceae) Рід: Пасифлора (Passiflora) Вид: П

スーパー戦隊シリーズ 手裏剣戦隊ニンニンジャー > 手裏剣戦隊ニンニンジャーVSトッキュウジャー THE MOVIE 忍者・イン・ワンダーランド 烈車戦隊トッキュウジャー > 手裏剣戦隊ニンニンジャーVSトッキュウジャー THE MOVIE 忍者・イン・ワンダーランド 手裏剣戦隊ニンニンジャーVSトッキュウジャーTHE MOVIE 忍者・イン・ワンダーランド監督 中澤祥次郎脚本 下山...

Location of Wood County in Texas This is a list of the National Register of Historic Places listings in Wood County, Texas. This is intended to be a complete list of properties and districts listed on the National Register of Historic Places in Wood County, Texas. There are one district and nine individual properties listed on the National Register in the county. Two individually listed properties are Recorded Texas Historic Landmarks while the district contains more.       &#...

St. Louis Jimmy OdenBirth nameJames Burke OdenBorn(1903-06-26)June 26, 1903Nashville, Tennessee, U.S.DiedDecember 30, 1977(1977-12-30) (aged 74)Chicago, Illinois, U.S.GenresBluesOccupation(s)Singer, songwriterMusical artist James Burke St. Louis Jimmy Oden (June 26, 1903 – December 30, 1977)[1] was an American blues singer and songwriter. Biography Oden was born in Nashville, Tennessee, United States. His parents were Henry Oden, a dancer, and Leana West, although both...

Timothy SimonsSimons di New York PaleyFest 2014 untuk acara TV VeepLahir1978 (umur 44–45)Readfield, Maine, ASTempat tinggalLos Angeles, California, ASAlmamaterUniversity of Maine at OronoPekerjaanAktor, komedianTahun aktif2010–sekarangSuami/istriAnnie SimonsAnak2 Timothy Charles Simons adalah seorang aktor dan komedian Amerika Serikat yang dikenal karena memerankan Jonah Ryan pada seri televisi HBO Veep.[1] Ia juga berperan dalam film-film The Interview, Christine, d...

Mall in the Philippines SM Mall of AsiaSM Mall of Asia in May 2016LocationBay City, Pasay, Metro Manila, PhilippinesCoordinates14°32′6.24″N 120°58′55.75″E / 14.5350667°N 120.9821528°E / 14.5350667; 120.9821528AddressSeaside Boulevard, Barangay 76Opening dateMay 21, 2006; 17 years ago (2006-05-21)DeveloperSM Prime HoldingsManagementSM Prime HoldingsArchitectArquitectonicaNo. of stores and services663 shops, including 217 dining establishmen...

As eleições no território federal de Roraima em 1958 ocorreram em 3 de outubro como parte das eleições gerais no Distrito Federal, em 20 estados e nos territórios federais do Acre, Amapá e Rondônia.[1] No presente caso, a Constituição de 1946 fixou um deputado federal para representar cada um dos territórios federais então existentes.[2][nota 1] Resultado da eleição para deputado federal Conforme o Tribunal Superior Eleitoral, foram apurados 5.526 votos nominais (98,21%), 08 vot...

كوبا أمريكا 2015 - مرحلة خروج المغلوبمعلومات عامةالرياضة كرة القدم الفترة 2015 النهاية 4 يوليو 2015 البلد البرازيل عدد الجولات 8 موقع الويب ca2015.com… تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات سوف تبدأ مرحلة خروج المغلوب بكوبا أمريكا 2015 بتاريخ 24 يونيو بمرحلة دور ربع النهائي، وسوف تختتم ...

Andrea Luci Informasi pribadiNama lengkap Andrea LuciTanggal lahir 30 Maret 1985 (umur 38)Tempat lahir Piombino, ItaliaTinggi 1,72 m (5 ft 7+1⁄2 in)Posisi bermain GelandangInformasi klubKlub saat ini LivornoNomor 10Karier junior Fiorentina JuventusKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2005–2007 Juventus 0 (0)2005–2006 → Torres (pinjaman) 22 (2)2006–2007 → Pescara (pinjaman) 32 (1)2007–2010 Ascoli 91 (3)2010– Livorno 127 (4) * Penampilan dan gol di klub se...

2019 film directed by Teja SitaTheatrical release posterDirected byTejaScreenplay byParuchuri Gopala KrishnaParuchuri Venkateswara RaoTejaProduced bySunkara RamabrahmamStarring Kajal Aggarwal Bellamkonda Sreenivas Sonu Sood CinematographySirsha RayEdited byKotagiri Venkateswara RaoMusic byAnup RubensProductioncompanyAriel StudiosRelease date 24 May 2019 (2019-05-24) Running time162 minutesCountryIndiaLanguageTeluguBox officeest.6 crores Sita is a 2019 Indian Telugu-language rom...

1932 film This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Chandu the Magician film – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2016) (Learn how and when to remove this template message) Chandu The MagicianDirected byWilliam Cameron MenziesMarcel VarnelWritten byBarry Conners Philip KleinStarringE...

Центральное Папуаиндон. Papua Tengah Флаг Герб Страна  Индонезия Столица Набире Губернатор Ribka Haluk[d] История и география Дата образования 25 июля 2022 Площадь 66 130 км² Часовой пояс UTC+9 Население Население ▲ 1 408 981 чел. Национальности папуасы Конфессии протестантство, католици...

University in Southampton, UK This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) ...

سامراء الاسم الكامل نادي سامراء الرياضي الملعب ملعب سامراء  البلد العراق  الدوري الدوري العراقي 2006/2007 2006/2007 الطقم الأساسي الطقم الاحتياطي تعديل مصدري - تعديل   نادي سامراء الرياضي، نادي عراقي لكرة القدم مقره سامراء. تأسس عام 1973، يلعب في الدوري العراقي الدرجة الأولى....

Proposed US-wide electricity transmission system This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) The neutrality of this article is disputed. Relevant discussion may be found on the talk page. Please do not remove this message until conditions to do so are met. (June 2016) (Learn how and when to remove this template message) This article needs to be updated. Please help update this article...

Portuguese Inquisition in colonial-era Portuguese India This article is about the historical inquisition. For the 1961 book about this inquisition, see The Goa Inquisition. Portuguese Inquisition in Goa Inquisição de GoaGoa InquisitionSeal of the Portuguese Inquisition in Goa.TypeTypePart of the Portuguese Inquisition HistoryEstablished1561Disbanded1812Meeting placePortuguese India The Goa Inquisition (Portuguese: Inquisição de Goa, Portuguese pronunciation: [ĩ.ki.zɨ.ˈsɐ̃w dɨ ˈ...