Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

En géométrie, le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien (ou encore théorème de Bolyai, théorème de Bolyai-Gerwien ou théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwien) énonce que, lorsque deux polygones ont la même aire, on peut découper le premier en un nombre fini de polygones et les réarranger pour former le second polygone.

Par réarrangement, on entend qu'il est appliqué une translation et une rotation à chaque morceau polygonal.

Découpage d'un carré en polygones formant un triangle équilatéral de même aire

Histoire

Farkas Bolyai fut le premier à formuler la question. Le résultat fut démontré indépendamment plusieurs fois au cours du XIX^e siècle. William Wallace fut le premier à démontrer cette propriété en 1807^{[réf. souhaitée]}. Paul Gerwien^[1], ignorant ce résultat, le redémontra en 1833^[2] et Farkas Bolyai fit de même en 1835^[3]^,^[4]. Cette démonstration ne fait pas appel à l'axiome du choix.

Généralisations

Généralisation aux dimensions supérieures: La formulation équivalente de ce problème à des polyèdres de dimension trois est l'objet du troisième problème de Hilbert. Max Dehn prouva en 1900, que cette extension n'était pas possible ; résultat qui mena 24 ans plus tard au paradoxe de Banach-Tarski.

Généralisation à des figures curvilignes: « peut-on découper une figure de bords curvilignes en morceaux et les réarranger pour former un carré (ou toute autre figure) de même aire ? » La réponse dépend de ce que l'on entend par morceaux.

Le cas où la figure de départ est un disque correspond au problème de Tarski formulé en 1926 : « Peut-on découper un disque de sorte que les morceaux quelconques (et en nombre fini) permettent de construire un carré de même aire ? » Une réponse positive, mais reposant sur l'axiome du choix, a été apportée par Miklós Laczkovich en 1990^[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wallace–Bolyai–Gerwien theorem » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ Orthographié par erreur P. Gerwein dans (en) Ian Stewart, Math hysteria : fun and games with mathematics, Oxford University Press, 2004, 235 p. (ISBN 978-0-19-861336-7, lire en ligne), p.78.
↑ (de) P. Gerwien, « Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen Figuren in dieselben Stücke », J. reine angew. Math., vol. 10,‎ 1833, p. 228-234 (lire en ligne).
↑ (en) « Bolyai-Gerwien Theorem », sur PlanetMath.
↑ Certaines « sources », mentionnées dans (en) Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem sur cut-the-knot, donnent des chronologies différentes.
↑ (en) M. Laczkovich, « Equidecomposability and discrepancy; a solution to Tarski's circle squaring problem », J. reine angew. Math., vol. 404,‎ 1990, p. 77–117, lien Math Reviews.