Antiparallélogramme

Un antiparallélogramme.

L'antiparallélogramme ou contre-parallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés non adjacents sont de même longueur.

Ce n'est pas un parallélogramme : il a deux côtés opposés qui ne sont pas parallèles et même, qui se coupent.

Propriétés

Trois cercles associés à un antiparallélogramme
  • Dans un antiparallélogramme les angles opposés ont la même mesure.
  • Les diagonales sont parallèles.
  • L'antiparallélogramme admet un axe de symétrie qui est la médiatrice des diagonales.
  • Les deux côtés opposés prolongés les plus longs ont leur point d'intersection situé sur cette médiatrice.
  • Son enveloppe convexe est délimitée par le trapèze isocèle formé par les deux côtés non croisés et les diagonales[1].
  • L'antiparallélogramme est inscriptible dans un cercle[2].
  • Les côtés prolongés de l'antiparallélogramme sont les bitangentes de deux cercles[3].

Figure articulée

Si les sommets A, B, C et D sont articulés, la figure varie, mais le produit AC.BD reste constant, égal à AD2 – AB2.

On le démontre en considérant la puissance du point C par rapport au cercle de centre B passant par A.

Lorsque les sommets A et C sont fixes, le point d'intersection des côtés [AD] et [BC] parcourt une ellipse quand l'antiparallélogramme se déforme. Cette propriété a été utilisée par Frans van Schooten pour concevoir un ellipsographe[4].

Notes et références

  1. ↑ (en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, A Cornucopia of Quadrilaterals, vol. 55, Providence, Rhode Island, MAA Press and American Mathematical Society, (ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138, lire en ligne), p. 212
  2. ↑ (en) Engjëll Begalla et Antonella Perucca, « The ABCD of cyclic quadrilaterals », Uitwiskeling, University of Luxembourg,‎ (hdl 10993/43232)
  3. ↑ (en) Roger F. Wheeler, « Quadrilaterals », The Mathematical Gazette, vol. 42, no 342,‎ , p. 275–276 (DOI 10.2307/3610439, JSTOR 3610439, S2CID 250434576)
  4. ↑ (la) Frans van Schooten, De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione, (lire en ligne), p. 49;50/69;70.