En géométrie euclidienne, un polygone circonscriptible (ou polygone tangentiel) est un polygone convexe possédant un cercle inscrit, c'est-à-dire un cercle tangent à tous ses côtés. Son polygone dual, de sommets les points de contact du cercle inscrit avec luit, est un polygone inscriptible, puisque possédant le cercle inscrit dans le polygone de départ pour cercle circonscrit.
Les exemples les plus simples de polygones circonscriptibles sont les triangles et les polygones réguliers. Un ensemble particulier de polygones circonscriptibles est celui des quadrilatères circonscriptibles, dont font partie les losanges et les cerfs-volants.
Un polygone convexe possède un cercle inscrit si et seulement si et seulement les bissectrices de ses angles sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du centre inscrit[1].
Si a 1 , ⋯ ⋯ --> , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} sont les longueurs successives des côtés d'un polygone, Il existe un polygone circonscriptible de n côtés de longueurs respectives a 1 , ⋯ ⋯ --> , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} si et seulement si le système d'équations linéaires (S)
possède une solution réelle ( x 1 , ⋯ ⋯ --> , x n ) {\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})} [2].
Si une telle solution existe, alors x 1 , ⋯ ⋯ --> , x n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}} sont les distances de contact du polygone (les distances entre les sommets du polygone et les points de contact avec le cercle).
Lorsque n est impair, le système (S) possède une solution unique et il existe un polygone correspondant, unique à isométrie près.
La solution du système est donnée par 2 x 1 = a 1 − − --> a 2 + a 3 − − --> ⋯ ⋯ --> + a n {\displaystyle 2x_{1}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-\cdots +a_{n}} , les autres étant obtenues par permutation des indices.
Théorème de Pitot généralisé :
Lorsque n est pair, le système (S) possède une solution si et seulement si la somme alternée des a i {\displaystyle a_{i}} est nulle, c'est-à-dire si a 1 + a 3 + ⋯ ⋯ --> + a n − − --> 1 = a 2 + a 4 + ⋯ ⋯ --> + a n {\displaystyle a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{n-1}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{n}} , par exemple si a i = a i + 1 {\displaystyle a_{i}=a_{i+1}} ; le système est alors indéterminé d'ordre 1, et il y a une infinité de polygones circonscriptibles non isométriques avec ces longueurs de côtés[3]:p. 389. On peut remarquer par exemple que pour n = 4, tous les losanges de côtés de longueurs a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a {\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a} sont circonscriptibles.
Si les n côtés du polygone circonscriptible sont de longueurs a 1 , ⋯ ⋯ --> , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} , le rayon du cercle inscrit vaut[4]
où S est l'aire du polygone et p son demi-périmètre. Tout triangle étant circonscriptible, cette formule s'applique à tout triangle.
Dans un hexagone circonscriptible ABCDEF, les trois diagonales [AD] , [BE] et [CF] sont concourantes ; c'est un cas particulier du théorème de Brianchon.
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