En géométrie, l'aire algébrique d'un polygone est une généralisation à un polygone quelconque de l'aire géométrique d'un polygone simple, mesure de la superficie de la région délimitée par ce polygone. Elle permet un calcul simple à l'aide de déterminants de cette aire. Elle est équivalente à la formule de Green-Riemann donnant l'aire de la région déterminée par une courbe fermée simple.

Dans le plan affine euclidien orienté, le déterminant d'un couple de vecteurs ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}$ ne dépend pas de la base orthonormée directe dans laquelle il est calculé et donne l'aire du parallélogramme construit sur ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}$ si ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}})}$ est direct, son opposé sinon.

On définit l'aire algébrique d'un triangle ${\displaystyle ABC}$ quelconque par ${\displaystyle {\text{Aire}}(ABC)={\overline {ABC}}={\frac {1}{2}}\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})}$, donnant l'aire géométrique si ${\displaystyle ABC}$ est parcouru dans le sens direct, son opposé sinon.

Étant donné un polygone quelconque ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}}$ on montre que l'expression ${\displaystyle {\overline {MA_{1}A_{2}}}+{\overline {MA_{2}A_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-1}A_{n}}}+{\overline {MA_{n}A_{1}}}}$ ne dépend pas du point ${\displaystyle M}$ choisi (car ${\displaystyle {\overline {MAB}}-{\overline {M'AB}}={\frac {1}{2}}\det({\overrightarrow {MM'}},{\overrightarrow {AB}})}$) et on la définit comme étant l'aire algébrique du polygone ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}}$ :

${\displaystyle {\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})={\overline {A_{1}A_{2}\dots A_{n}}}={\overline {MA_{1}A_{2}}}+{\overline {MA_{2}A_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-1}A_{n}}}+{\overline {MA_{n}A_{1}}}}$^[1].

On montre que cette définition redonne bien la définition de l'aire algébrique d'un triangle si ${\displaystyle n=3}$ , qu'elle reste inchangée par décalage circulaire sur les lettres ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}}$, qu'on a la relation de type Chasles pour ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n}$ :

${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}\dots A_{n}}}={\overline {A_{1}A_{2}\dots A_{p}}}+{\overline {A_{p}A_{2}\dots A_{n}A_{1}}}}$ (remarquer l'ajout de ${\displaystyle A_{1}}$ à la fin),

et qu'elle donne bien l'aire géométrique dans le cas d'un polygone simple (c'est-à-dire sans aucune intersection d'aucune paire quelconque de côtés, en dehors du sommet commun à deux côtés successifs) parcouru dans le sens direct.

De plus l'ajout d'un point aligné avec deux sommets consécutifs ne change pas l'aire : ${\displaystyle {\overline {A_{1}\dots A_{i}A_{i+1}\dots A_{n}}}={\overline {A_{1}\dots A_{i}XA_{i+1}\dots A_{n}}}}$, formule pouvant être utilisée dans les deux sens.

Dans le cas d'un quadrilatère croisé, l'aire algébrique donne la différence des aires des deux triangles formés (dans la figure de droite, on a ${\displaystyle {\text{Aire}}(ABCD)={\overline {IAB}}+{\overline {IBC}}+{\overline {ICD}}+{\overline {IDA}}={\overline {IAB}}-{\overline {IDC}}}$). Elle est donc nulle si ces deux triangles ont la même aire, par exemple pour un antiparallélogramme.

Pour un pentagone ${\displaystyle ABCDE}$ la relation ci-dessus donne :${\displaystyle {\text{Aire}}(ABCDE)={\overline {ABC}}+{\overline {CDEA}}={\overline {ABC}}+{\overline {CDE}}+{\overline {EAC}}}$.

Dans la figure de gauche, par une autre méthode, ${\displaystyle {\text{Aire}}(ABCDE)={\overline {ABICJDE}}={\overline {ABI}}+{\overline {ICJDEA}}={\overline {ABI}}+{\overline {ICJDE}}=\cdots ={\overline {ABI}}-{\overline {IJC}}+{\overline {JDE}}}$.

Les points ${\displaystyle A_{i}}$ ayant pour coordonnées ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ dans une base orthonormée directe, l'aire algébrique se calcule par la formule :

${\displaystyle 2{\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+\cdots +{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}}$.

Vu la disposition des produits successifs effectués, cette formule est désignée en anglais par shoelace formula (formule des lacets de chaussure).

Pour l'aire du pentagone de sommets :$${\displaystyle A(1,6),B(3,1),C(7,2),D(4,4),E(8,5)}$$On obtient$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Aire}}(ABCDE)&={\frac {1}{2}}\left({\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left((1-18)\;+(6-7)\;+(28-8)\;+(20-32)\;+(48-5)\right)=16,5\\\end{aligned}}}$$

Posant ${\displaystyle A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})=A_{1}(x_{1},y_{1})}$, on a ${\displaystyle {\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})}$.

Or ${\displaystyle x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}=-(y_{i}+y_{i+1})(x_{i+1}-x_{i})+x_{i+1}y_{i+1}-x_{i}y_{i}}$; comme ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}y_{i+1}-x_{i}y_{i})=0}$, on obtient ${\displaystyle {\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i+1}+y_{i}}{2}}(x_{i+1}-x_{i})}$ Or le terme dans la somme est l'aire du trapèze de sommets ${\displaystyle (x_{i},0),(x_{i+1},0),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},y_{i})}$ et on retrouve ${\displaystyle {\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=-\int _{A_{1}\dots A_{n}}ydx}$, formule de Green-Riemann.

De la même façon, on a : ${\displaystyle {\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i+1}+x_{i}}{2}}(y_{i+1}-y_{i})=\int _{A_{1}\dots A_{n}}xdy}$.

On peut aussi écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Aire}}(A_{1}A_{2}\dots A_{n})&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}$

Pour un polygone régulier convexe à n côtés de longueur a, l'aire ${\displaystyle S}$ est donnée par :

${\displaystyle S={\frac {na^{2}}{4\tan(\pi /n)}}.}$

• Théorème de Pick pour calculer l'aire d'un polygone dont les sommets sont sur une grille
• Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Shoolace formula » (voir la liste des auteurs).

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