Η εσωτερική διχοτόμος
A
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
B
Δ Δ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
A
B
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\tfrac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}={\tfrac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}}
Στην γεωμετρία , το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου ) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος μίας κορυφής του χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.[ 1] :153-154 [ 2] :191-193 [ 3] :95-96 [ 4] :327-331
Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
A
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}}
B
Δ Δ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
A
B
A
Γ Γ -->
.
{\displaystyle {\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}={\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}.}
Η εξωτερική διχοτόμος
A
Δ Δ -->
′
{\displaystyle \mathrm {A\Delta '} }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
B
Δ Δ -->
′
Γ Γ -->
Δ Δ -->
′
=
A
B
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\tfrac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}
Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου ) λέει ότι σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
B
≠ ≠ -->
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\neq {\rm {A\Gamma }}}}}
A
Δ Δ -->
′
{\displaystyle {\rm {A\Delta '}}}
εξωτερική διχοτόμος , τότε
B
Δ Δ -->
′
Γ Γ -->
Δ Δ -->
′
=
A
B
A
Γ Γ -->
.
{\displaystyle {\frac {\rm {B\Delta '}}{\rm {\Gamma \Delta '}}}={\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}.}
Το θεώρημα της διχοτόμου χρησιμοποιείται στις αποδείξεις πολλών άλλων θεωρημάτων και μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Παρακάτω παραθέτουμε μερικές από αυτές.
Έγκεντρο
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
A
Δ Δ -->
A
{\displaystyle {\rm {A\Delta _{A}}}}
B
Δ Δ -->
B
{\displaystyle {\rm {B\Delta _{B}}}}
Γ Γ -->
Δ Δ -->
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}}
έγκεντρο του τριγώνου ).
Απόδειξη
Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς
B
Δ Δ -->
A
Γ Γ -->
Δ Δ -->
A
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
B
A
Δ Δ -->
B
⋅ ⋅ -->
A
Δ Δ -->
Γ Γ -->
B
Δ Δ -->
Γ Γ -->
=
A
B
A
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
B
Γ Γ -->
A
B
⋅ ⋅ -->
A
Γ Γ -->
B
Γ Γ -->
=
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta _{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta _{B}} }{\mathrm {A\Delta _{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta _{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta _{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1}
◻ ◻ -->
{\displaystyle \square }
Έστω
α α -->
=
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \alpha =\mathrm {B\Gamma } }
β β -->
=
Γ Γ -->
A
{\displaystyle \beta =\mathrm {\Gamma A} }
γ γ -->
=
A
B
{\displaystyle \gamma =\mathrm {AB} }
B
Δ Δ -->
=
α α -->
γ γ -->
β β -->
+
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}}
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
α α -->
β β -->
β β -->
+
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}}
Απόδειξη
Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι
B
Δ Δ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
γ γ -->
β β -->
⇒ ⇒ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
B
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
γ γ -->
,
{\displaystyle {\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}={\frac {\gamma }{\beta }}\Rightarrow {\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Delta }}\cdot {\frac {\beta }{\gamma }},}
και επίσης ισχύει ότι
B
Δ Δ -->
+
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
α α -->
{\displaystyle {\rm {B\Delta }}+{\rm {\Gamma \Delta }}=\alpha }
B
Δ Δ -->
+
B
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
γ γ -->
=
α α -->
⇒ ⇒ -->
B
Δ Δ -->
=
α α -->
γ γ -->
β β -->
+
γ γ -->
.
{\displaystyle {\rm {B\Delta }}+{\rm {B\Delta }}\cdot {\frac {\beta }{\gamma }}=\alpha \Rightarrow \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}.}
Αντίστοιχα και για την
Γ Γ -->
Δ Δ -->
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }
◻ ◻ -->
{\displaystyle \square }
Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
I
→ → -->
=
1
α α -->
+
β β -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
+
β β -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
→ → -->
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)}
όπου
A
→ → -->
,
B
→ → -->
,
Γ Γ -->
→ → -->
{\displaystyle {\vec {\rm {A}}},{\vec {\rm {B}}},{\vec {\rm {\Gamma }}}}
Απόδειξη
Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των
B
Δ Δ -->
A
{\displaystyle \mathrm {B\Delta _{A}} }
Γ Γ -->
Δ Δ -->
A
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }
Δ Δ -->
A
{\displaystyle \Delta _{\rm {A}}}
Δ Δ -->
A
→ → -->
=
B
→ → -->
+
α α -->
γ γ -->
β β -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
1
α α -->
⋅ ⋅ -->
(
Γ Γ -->
→ → -->
− − -->
B
→ → -->
)
=
1
β β -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
β β -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
→ → -->
)
{\displaystyle {\vec {\rm {\Delta _{A}}}}={\vec {\rm {B}}}+{\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot {\frac {1}{\alpha }}\cdot ({\vec {\rm {\Gamma }}}-{\vec {\rm {B}}})={\frac {1}{\beta +\gamma }}\cdot \left(\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}+\gamma \cdot {\vec {\Gamma }}\right)}
Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου
δ δ -->
A
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}}
δ δ -->
A
=
{
t
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
+
(
1
− − -->
t
)
⋅ ⋅ -->
1
β β -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
β β -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
→ → -->
)
:
t
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}=\left\{t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\beta +\gamma }}\cdot \left(\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}+\gamma \cdot {\vec {\Gamma }}\right):t\in [0,1]\right\}}
Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους
δ δ -->
B
=
{
t
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
+
(
1
− − -->
t
)
⋅ ⋅ -->
1
γ γ -->
+
α α -->
⋅ ⋅ -->
(
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
→ → -->
+
α α -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
)
:
t
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \delta _{\rm {B}}=\left\{t\cdot {\vec {\rm {B}}}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\gamma +\alpha }}\cdot \left(\gamma \cdot {\vec {\rm {\Gamma }}}+\alpha \cdot {\vec {\rm {A}}}\right):t\in [0,1]\right\}}
δ δ -->
Γ Γ -->
=
{
t
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
→ → -->
+
(
1
− − -->
t
)
⋅ ⋅ -->
1
α α -->
+
β β -->
⋅ ⋅ -->
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
+
β β -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
)
:
t
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}=\left\{t\cdot {\vec {\rm {\Gamma }}}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\alpha +\beta }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\rm {A}}}+\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}\right):t\in [0,1]\right\}}
Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις (για
t
A
=
α α -->
α α -->
+
β β -->
+
γ γ -->
{\textstyle t_{\rm {A}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}}
t
B
=
β β -->
α α -->
+
β β -->
+
γ γ -->
{\textstyle t_{\rm {B}}={\frac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}}
t
Γ Γ -->
=
γ γ -->
α α -->
+
β β -->
+
γ γ -->
{\textstyle t_{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}}
I
→ → -->
=
1
α α -->
+
β β -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
+
β β -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
+
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
→ → -->
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)}
Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου .
Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου που χρησιμοποιεί το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:
Έστω
α α -->
=
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \alpha =\mathrm {B\Gamma } }
β β -->
=
Γ Γ -->
A
{\displaystyle \beta =\mathrm {\Gamma A} }
γ γ -->
=
A
B
{\displaystyle \gamma =\mathrm {AB} }
B
Δ Δ -->
′
=
α α -->
γ γ -->
β β -->
− − -->
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}}
Γ Γ -->
Δ Δ -->
′
=
α α -->
β β -->
β β -->
− − -->
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}}
Ο Απολλώνιος κύκλος του
A
B
{\displaystyle {\rm {AB}}}
k
>
1
{\displaystyle k>1}
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
P
A
P
B
=
k
{\textstyle {\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k}
Το θεώρημα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
k
≠ ≠ -->
1
{\displaystyle k\neq 1}
k
=
P
A
P
B
{\textstyle k={\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}}
Απολλώνιος κύκλος .
Εσωτερική διχοτόμος
A
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}}
A
Δ Δ -->
′
{\displaystyle {\rm {A\Delta '}}}
Δ Δ -->
,
Δ Δ -->
′
{\displaystyle {\rm {\Delta ,\Delta '}}}
B
,
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {B,\Gamma }}}
Από το θεώρημα της της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι τα σημεία
Δ Δ -->
,
Δ Δ -->
′
{\displaystyle {\rm {\Delta ,\Delta '}}}
αρμονικά συζυγή των
A
,
B
{\displaystyle {\rm {A,B}}}
A
Δ Δ -->
B
Δ Δ -->
=
A
Δ Δ -->
′
B
Δ Δ -->
′
{\displaystyle {\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\rm {A\Delta '}}{\rm {B\Delta '}}}}
↑ Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτέλης. ↑ Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. ↑ Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
Βασικές έννοιες Είδη τριγώνου
Βάσει μεγαλύτερης γωνίας Βάσει πλευρών Άλλα
Σημεία τριγώνου
Ευθείες τριγώνου
Κύκλοι τριγώνου
Μετρικές σχέσεις
Αναλογίες Εμβαδόν Μήκη σεβιανών Τριγωνομετρικές Άλλες
Σχετικά θεωρήματα Παράγωγα τρίγωνα
![{\displaystyle \delta _{\rm {A}}=\left\{t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\beta +\gamma }}\cdot \left(\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}+\gamma \cdot {\vec {\Gamma }}\right):t\in [0,1]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3ac41ae1d5d1beb4dba8d622e7457ad77dbfe4)
![{\displaystyle \delta _{\rm {B}}=\left\{t\cdot {\vec {\rm {B}}}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\gamma +\alpha }}\cdot \left(\gamma \cdot {\vec {\rm {\Gamma }}}+\alpha \cdot {\vec {\rm {A}}}\right):t\in [0,1]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff3cd36ae4b427039fa4333782d3aa5247c4e58)
![{\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}=\left\{t\cdot {\vec {\rm {\Gamma }}}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\alpha +\beta }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\rm {A}}}+\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}\right):t\in [0,1]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3d2369c5fd6f8dec8eda2fd8f3703eba8d08a5)
