PROFILPELAJAR.COM

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми $\mu$ примірників кола в $\mathbb {R} ^{3}$ або $S^{3}$ називається зачепленням кратності $\mu$ .

Зачеплення кратності $\mu =1$ називається вузлом.

Вузли, складові даного зачеплення, називаються його компонентами.

Охоплювально-ізотопічні^[ru] класи зачеплень називаються типами зачеплень. Зачеплення одного типу називаються еквівалентними.

Зачеплення, що складається з деяких компонент зачеплення $L$ , називається його частковим зачепленням.

Кажуть, що зачеплення розпадається (або розщеплюється), якщо два його часткових зачеплення розділені в $S^{3}$ двовимірною сферою.

Деякі типи зачеплень

Зачеплення « $0,\;0,\;\ldots ,\;0$ », що лежить у площині в $\mathbb {R} ^{3}$ , називається тривіальним.
Зачеплення називається брунновим, якщо розпадається кожне його часткове зачеплення, крім нього самого.
Найбільш вивчені кусково-лінійні зачеплення. Розгляд гладких або локально плоских топологічних вкладень в $\mathbb {R} ^{3}$ приводить до теорії, що збігається з кусково-лінійною.
Крім площини всяке зачеплення можна розташувати на стандартно вкладеній в $\mathbb {R} ^{3}$ замкненій поверхні. Наприклад, зачеплення можна розташувати на незавузленому торі або кренделі, тоді таке зачеплення буде називатися відповідно торичним, або крендельним.
Зачеплення, що лежить на межі трубчастого околу вузла називається обмоткою вузла $k$ . Зачеплення, яке можна отримати багаторазовим взяттям обмоток, починаючи з тривіального вузла, називається трубчастим, або складним кабельтовим.

Задання зачеплень

Зазвичай зачеплення задаються за допомогою так званих діаграм вузлів і зачеплень. Цей метод тісно пов'язаний з поняттям кіс. Якщо у косі з $2n$ ниток з'єднати вгорі і внизу по $n$ пар сусідніх кінців відрізками, то вийде зачеплення, зване $2n$ -сплетінням.

Інший спосіб конструювання зачеплень з кіс полягає в замиканні кіс. Якщо між двома паралельними площинами $\Pi _{1}$ і $\Pi _{2}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ взяти $2m$ ортогональних їм відрізків і з'єднати їхні кінці попарно $m$ дугами в $\Pi _{1}$ і $m$ дугами в $\Pi _{2}$ без перетинів, то сума всіх дуг і відрізків дасть зачеплення. Зачеплення, що допускає таке подання називається зачепленням з $m$ мостами.

Приклади зачеплень

Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами ^[1], складається з двох кіл, зачеплених одноразово^[2] і назване на честь Гайнца Гопфа.^[3]

Вузол Соломона
Число ниток = 4
Довжина коси= 8
Число перетинів= 4
Число розплутування =2
ab-нотація =4²₁
Гіперболічний об'єм= 0
альтернуючий

Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням
Кільця Борромео^[4] — це зачеплення, що складається з трьох топологічних кіл, які зчеплені і утворюють бруннове зачеплення (тобто видалення будь-якого кільця призведе до роз'єднання двох кілець). Іншими словами, ніякі два з трьох кілець не зчеплені як в зачепленні Гопфа, проте, всі разом вони зчеплені.

Примітки

↑ Adams, 2004.
↑ Kusner, Sullivan, 1998.
↑ Прасолов, Сосинский, 1997.
↑ Назва виникла з герба роду Борромео, на якому присутні ці кільця.

Література

Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика [Архівовано 29 липня 2019 у Wayback Machine.] // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М. : МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
Статьи «Теория узлов в конце XX века» [Архівовано 9 червня 2019 у Wayback Machine.] // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.* Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вип. 7. — DOI:10.1142/S0218216504003524.
Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry [Архівовано 29 липня 2019 у Wayback Machine.].(англ.)
Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.(англ.)
Birman J.S. Braids, knots and contact structures.(англ.)
Weisstein, Eric W. Knot Theory(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.