PROFILPELAJAR.COM

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это такая окружность, по отношению к которой каждая сторона описанного многоугольника является касательной. Двойственный многоугольник^[англ.] описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

Все треугольники являются описанными для какой-либо окружности, как и все правильные многоугольники с произвольным числом сторон. Хорошо изученная группа описанных многоугольников — описанные четырёхугольники, куда входят ромбы и дельтоиды.

Описания

Выпуклый многоугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда все внутренние биссектрисы его углов конкурентны^[англ.] (пересекаются в одной точке) и эта общая точка пересечения является центром вписанной окружности^[1].

Описанный многоугольник с n последовательными сторонами $a_{1},\dots ,a_{n}$ существует тогда и только тогда, когда система уравнений

x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}

имеет решение $(x_{1},\dots ,x_{n})$ в положительных вещественных числах ^[2]. Если такое решение существует, то $x_{1},\dots ,x_{n}$ являются касательными длинами многоугольника (длинами от вершины до точки касания на стороне).

Единственность и неединственность

Если число сторон n нечётно, то для любого заданного набора длин сторон $a_{1},\dots ,a_{n}$ , удовлетворяющих критерию выше, существует только один описанный многоугольник. Но если n чётно, существует их бесконечное число^[3]. Например, в случае четырёхугольника, когда все стороны равны, мы будем иметь ромб с любой величиной острого угла и все эти ромбы будут описаны вокруг какой-либо окружности.

Радиус вписанной окружности

Если длины сторон описанного многоугольника равны $a_{1},\dots ,a_{n}$ , то радиус вписанной окружности равен^[4].

r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}

где K — площадь многоугольника, а s — его полупериметр. (Поскольку все треугольники имеют вписанную окружность, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

Для описанного многоугольника с нечётным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда углы равны (многоугольник правильный). Описанный многоугольник с чётным числом сторон имеет все стороны равными тогда и только тогда, когда чередующиеся углы равны.
В описанном многоугольнике с чётным числом сторон сумма длин нечётных сторон равна сумме длин чётных сторон^[2].
Описанный многоугольник имеет бо́льшую площадь, чем любой другой многоугольник с тем же периметром и теми же внутренними углами в той же последовательности^[5]^[6].
Барицентр любого описанного многоугольника, барицентр его точек границы и центр вписанной окружности коллинеарны и барицентр многоугольника находится между двумя другими указанными центрами и вдвое дальше от центра вписанной окружности, чем от барицентра границы^[7].

Описанный треугольник

Все треугольники имеют некоторую вписанную окружность. Треугольник называется тангенциальным треугольником рассматриваемого треугольника, если все касания тангенциального треугольника окружности также являются вершинами рассматриваемого треугольника.

Описанный четырёхугольник

Описанный шестиугольник

В описанном шестиугольнике ABCDEF главные диагонали AD, BE и CF конкурентны^[англ.] согласно теореме Брианшона.

Примечания

↑ Byer, Lazebnik, Smeltzer, 2010, с. 77.
↑ ¹ ² Djukić, Janković, Matić, Petrović, 2006, с. 561.
↑ Hess, 2014, с. 389.
↑ Alsina, Nelsen, 2011, с. 125.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2004, с. 862.
↑ Apostol, 2005, с. 946.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2004, с. 858-9.

Литература

Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14. — С. 389–396.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. — Mathematical Association of America, 2011. — Т. 45. — (Dolciani Mathematical Expositions).
Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Март (вып. 95).
Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Methods for Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 2010. — ISBN 9780883857632.
Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. The IMO Compendium. A collection of Problems Suggested for The International Mathematical Olympiads: 1959-2009. — Springer, 2006. — ISBN 978-1-4419-9853-8.
Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Figures Circumscribing Circles // American Mathematical Monthly. — 2004. — Декабрь (т. 111). — С. 853–863. — doi:10.2307/4145094.
Tom Apostol. =erratum // American Mathematical Monthly. — 2005. — Декабрь (т. 112, вып. 10). — doi:10.1080/00029890.2005.11920274.