Conceitos
Tabela de derivadas
Definições
Integração por
Testes de convergência
Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:
onde f ( x ) {\textstyle f(x)} é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de f ( x ) {\textstyle f(x)} em torno do ponto x = a {\textstyle x=a} . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem n {\textstyle n} em torno de x = a {\textstyle x=a} de uma dada função n {\textstyle n} -vezes diferenciável neste ponto é dado por:[1][2][3][4][5][6][7][8]
No caso particular de a = 0 {\textstyle a=0} , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.
Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.
Toda série de Taylor possui um raio de convergência R {\displaystyle R} com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) | x − − --> a | ≤ ≤ --> r < R {\displaystyle |x-a|\leq r<R} .
A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:
O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:
cuja série de Taylor é :
A série de Taylor associada a uma função f {\displaystyle f} infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por
Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.
Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.
Função exponencial e logaritmo natural:
Série geométrica:
Teorema binomial:
Funções trigonométricas:
Funções hiperbólicas:
Função W de Lambert:
A série de Taylor pode também ser definida para funções de R n → → --> R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } .
Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de f {\displaystyle f} em torno do ponto X 0 = ( x 1 0 , ⋯ ⋯ --> , x n 0 ) {\displaystyle X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})} é dada por:
f ( x 1 , ⋯ ⋯ --> , x n ) = ∑ ∑ --> k ≥ ≥ --> 0 1 k ! ( ∑ ∑ --> i = 1 n ∂ ∂ --> f ∂ ∂ --> x i ( X 0 ) ( x i − − --> x i 0 ) ) k , {\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},}
onde ( ∂ ∂ --> f ∂ ∂ --> x i ( X 0 ) ) k {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}} denota ∂ ∂ --> k f ∂ ∂ --> x i k ( X 0 ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).}
Ou seja, tem-se:
( ∑ ∑ --> i = 1 n ∂ ∂ --> f ∂ ∂ --> x i ( X 0 ) ( x i − − --> x i 0 ) ) k = ∑ ∑ --> α α --> i ∈ ∈ --> N , ∑ ∑ --> i = 1 n α α --> i = k ( k ! α α --> 1 ! ⋯ ⋯ --> α α --> n ! ⋅ ⋅ --> ∂ ∂ --> k f ∂ ∂ --> x 1 α α --> 1 ⋯ ⋯ --> ∂ ∂ --> x n α α --> n ( X 0 ) ⋅ ⋅ --> ( x 1 − − --> x 1 0 ) α α --> 1 ⋯ ⋯ --> ( x n − − --> x n 0 ) α α --> n ) . {\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).}
No caso particular n = 2 {\displaystyle n=2} , X 0 = ( x 0 , y 0 ) : {\displaystyle X_{0}=(x_{0},y_{0}):}
f ( x , y ) = ∑ ∑ --> k ≥ ≥ --> 0 1 k ! ∑ ∑ --> i = 0 k k ! i ! ( k − − --> i ) ! ⋅ ⋅ --> ∂ ∂ --> i f ∂ ∂ --> x i ( X 0 ) ⋅ ⋅ --> ∂ ∂ --> k − − --> i f ∂ ∂ --> y k − − --> i ( X 0 ) ⋅ ⋅ --> ( x − − --> x 0 ) i ⋅ ⋅ --> ( y − − --> y 0 ) k − − --> i . {\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.} [11]
As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde a = 0 {\displaystyle a=0} :
f ( x ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> f ( n ) ( a ) ( x − − --> a ) n n ! {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}}
Dessa forma, a série pode ser expandida como:
f ( x ) = f ( 0 ) ( x − − --> 0 ) 0 + f ′ ( 0 ) ( x − − --> 0 ) 1 1 ! + f ″ ( 0 ) ( x − − --> 0 ) 2 2 ! + f ‴ ( 0 ) ( x − − --> 0 ) 3 3 ! + . . . {\displaystyle f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...}
Logo:
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x 1 1 ! + f ″ ( 0 ) x 2 2 ! + f ‴ ( 0 ) x 3 3 ! + . . . {\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...}
Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:
f ( x ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> f ( n ) ( 0 ) x n n ! {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}}
Para o c o s ( x ) {\displaystyle cos(x)} , tem-se que:
f ( x ) = s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ( 0 ) = s e n ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(x)=sen(x)\Rightarrow f(0)=sen(0)=0}
f ′ ( x ) = c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′ ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'(x)=cos(x)\Rightarrow f'(0)=cos(0)=1}
f ″ ( x ) = − − --> s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ″ ( 0 ) = − − --> s e n ( 0 ) = − − --> 0 = 0 {\displaystyle f''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''(0)=-sen(0)=-0=0}
f ‴ ( x ) = − − --> c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ‴ ( 0 ) = − − --> c o s ( 0 ) = − − --> 1 {\displaystyle f'''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''(0)=-cos(0)=-1}
f ⁗ ( x ) = s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ⁗ ( 0 ) = s e n ( 0 ) = 0 {\displaystyle f''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''(0)=sen(0)=0}
f ′′′′′ ( x ) = c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′ ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''(0)=cos(0)=1}
f ′′′′′′ ( x ) = − − --> s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′ ( 0 ) = − − --> s e n ( 0 ) = − − --> 0 = 0 {\displaystyle f''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''''''(0)=-sen(0)=-0=0}
f ′′′′′′′ ( x ) = − − --> c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′ ( 0 ) = − − --> c o s ( 0 ) = − − --> 1 {\displaystyle f'''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''''''(0)=-cos(0)=-1}
f ′′′′′′′′ ( x ) = s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′′ ( 0 ) = s e n ( 0 ) = 0 {\displaystyle f''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''''''(0)=sen(0)=0}
f ′′′′′′′′′ ( x ) = c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′′′ ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''''''(0)=cos(0)=1}
Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x 1 1 ! + f ″ ( 0 ) x 2 2 ! + f ‴ ( 0 ) x 3 3 ! + f ⁗ ( 0 ) x 4 4 ! + f ′′′′′ ( 0 ) x 5 5 ! + f ′′′′′′ ( 0 ) x 6 6 ! + f ′′′′′′′ ( 0 ) x 7 7 ! + f ′′′′′′′′ ( 0 ) x 8 8 ! + f ′′′′′′′′′ ( 0 ) x 9 9 ! {\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+{f''''(0)\ x^{4} \over 4!}+{f'''''(0)\ x^{5} \over 5!}+{f''''''(0)\ x^{6} \over 6!}+{f'''''''(0)\ x^{7} \over 7!}+{f''''''''(0)\ x^{8} \over 8!}+{f'''''''''(0)\ x^{9} \over 9!}}
Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com x {\displaystyle x} elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:
f ( x ) ≅ ≅ --> ( 1 x 1 1 ! ) + ( − − --> 1 x 3 3 ! ) + ( 1 x 5 5 ! ) + ( − − --> 1 x 7 7 ! ) + ( 1 x 9 9 ! ) {\displaystyle f(x)\cong \left({1x^{1} \over 1!}\right)+\left({-1x^{3} \over 3!}\right)+\left({1x^{5} \over 5!}\right)+\left({-1x^{7} \over 7!}\right)+\left({1x^{9} \over 9!}\right)}
Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:
f ( x ) ≅ ≅ --> x − − --> x 3 3 ! + x 5 5 ! − − --> x 7 7 ! + x 9 9 ! {\displaystyle f(x)\cong x\ -{x^{3} \over 3!}+\ {x^{5} \over 5!}\ -{x^{7} \over 7!}+\ {x^{9} \over 9!}}
Dessa forma, a série pode ser escrita como:
f ( x ) = s e n ( x ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> ( − − --> 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle f(x)=sen(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}}
f ( x ) = c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(x)=cos(x)\Rightarrow f(0)=cos(0)=1}
f ′ ( x ) = − − --> s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′ ( 0 ) = − − --> s e n ( 0 ) = − − --> 0 = 0 {\displaystyle f'(x)=-sen(x)\Rightarrow f'(0)=-sen(0)=-0=0}
f ″ ( x ) = − − --> c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ″ ( 0 ) = − − --> c o s ( 0 ) = − − --> 1 {\displaystyle f''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1}
f ‴ ( x ) = s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ‴ ( 0 ) = s e n ( 0 ) = 0 {\displaystyle f'''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''(0)=sen(0)=0}
f ⁗ ( x ) = c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ⁗ ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 {\displaystyle f''''(x)=cos(x)\Rightarrow f''''(0)=cos(0)=1}
f ′′′′′ ( x ) = − − --> s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′ ( 0 ) = − − --> s e n ( 0 ) = − − --> 0 = 0 {\displaystyle f'''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f'''''(0)=-sen(0)=-0=0}
f ′′′′′′ ( x ) = − − --> c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′ ( 0 ) = − − --> c o s ( 0 ) = − − --> 1 {\displaystyle f''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''''''(0)=-cos(0)=-1}
f ′′′′′′′ ( x ) = s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′ ( 0 ) = s e n ( 0 ) = 0 {\displaystyle f'''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''''''(0)=sen(0)=0}
f ′′′′′′′′ ( x ) = c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′′ ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 {\displaystyle f''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow f''''''''(0)=cos(0)=1}
f ′′′′′′′′′ ( x ) = − − --> s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′′′ ( 0 ) = − − --> s e n ( 0 ) = − − --> 0 = 0 {\displaystyle f'''''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f'''''''''(0)=-sen(0)=-0=0}
f ′′′′′′′′′′ ( x ) = − − --> c o s ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′′′′ ( 0 ) = − − --> c o s ( 0 ) = − − --> 1 {\displaystyle f''''''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''''''''''(0)=-cos(0)=-1}
f ′′′′′′′′′′′ ( x ) = s e n ( x ) ⇒ ⇒ --> f ′′′′′′′′′′′ ( 0 ) = s e n ( 0 ) = 0 {\displaystyle f'''''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''''''''''(0)=sen(0)=0}
Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com x {\displaystyle x} elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:
f ( x ) ≅ ≅ --> f ( 0 ) x 0 0 ! + f ″ ( 0 ) x 2 2 ! + f ⁗ ( 0 ) x 4 4 ! + f ′′′′′′ ( 0 ) x 6 6 ! + f ′′′′′′′′ ( 0 ) x 8 8 ! {\displaystyle f(x)\cong {f(0)x^{0} \over 0!}+{f''(0)x^{2} \over 2!}+{f''''(0)x^{4} \over 4!}+{f''''''(0)x^{6} \over 6!}+{f''''''''(0)x^{8} \over 8!}}
Substituindo-se os valores das derivadas e da f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} na série obtem-se:
f ( x ) ≅ ≅ --> 1 x 0 0 ! + ( − − --> 1 ) x 2 2 ! + 1 x 4 4 ! + ( − − --> 1 ) x 6 6 ! + 1 x 8 8 ! {\displaystyle f(x)\cong {1x^{0} \over 0!}+{(-1)x^{2} \over 2!}+{1x^{4} \over 4!}+{(-1)x^{6} \over 6!}+{1x^{8} \over 8!}}
Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:
f ( x ) ≅ ≅ --> 1 − − --> x 2 2 ! + x 4 4 ! − − --> x 6 6 ! + x 8 8 ! {\displaystyle f(x)\cong 1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+{x^{8} \over 8!}}
Ou ainda:
f ( x ) = cos --> ( x ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> ( − − --> 1 ) n . x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle f(x)=\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}.x^{2n} \over (2n)!}}
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