수학 에서 상수 함수 (常數函數, 영어 : constant function )는 정의역 의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수 를 말한다. 예를 들어, 함수
f
(
x
)
=
3
{\displaystyle f(x)=3}
x
{\displaystyle x}
정의역
X
{\displaystyle X}
공역
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
동치 이며, 이를 만족시키는 함수
f
{\displaystyle f}
상수 함수 라고 한다.
임의의
x
,
x
′
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,x'\in X}
f
(
x
)
=
f
(
x
′
)
{\displaystyle f(x)=f(x')}
임의의
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
y
∈ ∈ -->
Y
{\displaystyle y\in Y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
공집합 이거나, 또는 임의의
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
x
{\displaystyle x}
y
∈ ∈ -->
Y
{\displaystyle y\in Y}
X
{\displaystyle X}
비이산 위상 을 부여하고,
Y
{\displaystyle Y}
이산 위상 을 부여하였을 때,
f
{\displaystyle f}
연속 함수 이다.정의역
X
{\displaystyle X}
공역
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
위상 공간 의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 함수
f
{\displaystyle f}
국소 상수 함수 (局所常數函數, 영어 : locally constant function )라고 한다.
만약 임의의
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
f
|
U
{\displaystyle f|_{U}}
근방
U
∋ ∋ -->
x
{\displaystyle U\ni x}
Y
{\displaystyle Y}
이산 위상 을 부여하였을 때,
f
{\displaystyle f}
연속 함수 이다.
상수 함수의 개념을 집합 의 범주에서 임의의 범주 로 일반화할 수 있다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
사상
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
상수 사상 (영어 : constant morphism )이라고 한다.
임의의 대상
W
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle W\in {\mathcal {C}}}
g
,
h
: : -->
W
→ → -->
X
{\displaystyle g,h\colon W\to X}
f
∘ ∘ -->
g
=
f
∘ ∘ -->
h
{\displaystyle f\circ g=f\circ h}
W
→
h
X
g
↓ ↓ -->
↓ ↓ -->
f
X
→
f
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}W&\xrightarrow {h} &X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
쌍대 상수 사상 (영어 : coconstant morphism )이라고 한다.
임의의 대상
W
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle W\in {\mathcal {C}}}
g
,
h
: : -->
X
→ → -->
W
{\displaystyle g,h\colon X\to W}
g
∘ ∘ -->
f
=
h
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f=h\circ f}
W
←
h
X
g
↑ ↑ -->
↑ ↑ -->
f
X
←
f
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}W&{\xleftarrow {h}}&X\\{\scriptstyle g}\uparrow &&\uparrow \scriptstyle f\\X&{\xleftarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}
상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상 (영어 : zero morphism )이라고 한다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
X
,
Y
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}
0
X
Y
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle 0_{XY}\colon X\to Y}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
영 사상을 갖는 범주 (영어 : category with zero morphisms )라고 한다.
임의의 대상
X
,
Y
,
Z
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}
X
→
f
Y
→
g
Z
{\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z}
X
→
0
X
Y
Y
g
↓ ↓ -->
↘ ↘ -->
0
X
Z
↓ ↓ -->
f
Y
→
0
Y
Z
Z
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {0_{XY}}}&Y\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\xrightarrow[{0_{YZ}}]{}}&Z\end{matrix}}}
이 경우,
0
X
Y
{\displaystyle 0_{XY}}
0
X
Y
{\displaystyle 0_{XY}}
점을 가진 집합 의 (분쇄곱 을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주 의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.
두 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
매끄러운 함수
f
: : -->
M
→ → -->
R
{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
도함수
D
f
{\displaystyle Df}
f
{\displaystyle f}
상수 함수는 (정의역에 주어진 위상 에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
비이산 위상 을 부여하였을 때,
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
연결 성분
X
0
{\displaystyle X_{0}}
f
|
X
0
{\displaystyle f|_{X_{0}}}
X
{\displaystyle X}
국소 연결 공간 이라면 연결 성분이 열린집합 을 이루며, 따라서 임의의 함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
X
0
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle X_{0}\subset X}
f
|
X
0
{\displaystyle f|_{X_{0}}}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
준층 을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화 는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층 이다.
끝 대상
1
{\displaystyle 1}
X
→ → -->
1
→ → -->
Y
{\displaystyle X\to 1\to Y}
시작 대상
0
{\displaystyle 0}
X
→ → -->
0
→ → -->
Y
{\displaystyle X\to 0\to Y}
영 대상 을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
영 대상 을 통하는 유일한 사상
X
→ → -->
0
→ → -->
Y
{\displaystyle X\to 0\to Y}
이다.
정의역이 이산 공간 인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.
공역 이 한원소 집합 이거나 공집합 인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역 이 한원소 집합 이거나 공집합 인 모든 함수는 상수 함수이다.
집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합 을 정의역 으로 하는 함수이다.
군 의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상 이 항등원 1인 상수 함수 이다.
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군 들의 범주
R
-Mod
{\displaystyle R{\text{-Mod}}}
영 대상 을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다.
R
-Mod
{\displaystyle R{\text{-Mod}}}
![{\displaystyle {\begin{matrix}W&\xrightarrow {h} &X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa6ef1b760145d32020918f3c17e521249cabfa)
![{\displaystyle {\begin{matrix}W&{\xleftarrow {h}}&X\\{\scriptstyle g}\uparrow &&\uparrow \scriptstyle f\\X&{\xleftarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ac485479a3e76c5d39cc97e93964a93ee8f305)
![{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {0_{XY}}}&Y\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\xrightarrow[{0_{YZ}}]{}}&Z\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366d5063e6bb2130c2c70016547cbaea1b98ca19)
