단사 함수의 예 단사 함수가 아닌 예 (이는 전사 함수 이기는 하다). 수학 에서 단사 함수 (單射函數, 영어 : injection; injective function ) 또는 일대일 함수 (一對一函數, 영어 : one-to-one function )는 정의역 의 서로 다른 원소를 공역 의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수 이다. 공역 의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상 이다.[ 1]
두 집합
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
동치 이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수 라고 한다.
임의의
x
,
x
′
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,x'\in X}
f
(
x
)
=
f
(
x
′
)
{\displaystyle f(x)=f(x')}
x
=
x
′
{\displaystyle x=x'}
임의의
x
,
x
′
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x,x'\in X}
x
≠ ≠ -->
x
′
{\displaystyle x\neq x'}
f
(
x
)
≠ ≠ -->
f
(
x
′
)
{\displaystyle f(x)\neq f(x')}
f
{\displaystyle f}
치역
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
f
{\displaystyle f}
정의역
X
{\displaystyle X}
치역
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
전단사 함수 를 정의한다.
f
{\displaystyle f}
단사 사상 이다. 즉, 임의의 집합
Z
{\displaystyle Z}
함수
g
1
,
g
2
: : -->
Z
→ → -->
X
{\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Z\to X}
f
∘ ∘ -->
g
1
=
f
∘ ∘ -->
g
2
{\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}
g
1
=
g
2
{\displaystyle g_{1}=g_{2}}
f
{\displaystyle f}
분할 단사 사상 이다. 즉,
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
X
{\displaystyle X}
항등 함수 를 이루는 함수
g
: : -->
Y
→ → -->
X
{\displaystyle g\colon Y\to X}
임의의 함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
g
: : -->
Y
→ → -->
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
만약
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
만약
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
두 집합
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
동치 이다.
단사 함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
|
X
|
≤ ≤ -->
|
Y
|
{\displaystyle |X|\leq |Y|}
|
⋅ ⋅ -->
|
{\displaystyle |\cdot |}
집합의 크기 이다.정의역 의 크기 가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.
항등 함수 는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.임의의 집합
X
{\displaystyle X}
Y
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle Y\subset X}
포함 함수
Y
→ → -->
X
{\displaystyle Y\to X}
f
: : -->
R
→ → -->
R
,
f
(
x
)
=
2
x
+
1
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=2x+1}
g
: : -->
R
→ → -->
R
,
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=x^{2}}
g
(
1
)
=
1
=
g
(
− − -->
1
)
{\displaystyle g(1)=1=g(-1)}
그러나, 만약
g
{\displaystyle g}
[
0
,
+
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle [0,+\infty )}
g
{\displaystyle g}
지수 함수
exp
: : -->
R
→ → -->
R
,
x
↦ ↦ -->
e
x
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto e^{x}}
전사 함수 가 아니다.)자연 로그 함수
ln
: : -->
(
0
,
+
∞ ∞ -->
)
→ → -->
R
,
x
↦ ↦ -->
ln
-->
x
{\displaystyle \ln \colon (0,+\infty )\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x}
유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(영어 : injection ), "앵젝시옹"(프랑스어 : injection ) 등은 "이니엑티오"(라틴어 : iniectiō )에서 유래하였으며, 이는 "인"(라틴어 : in , 안에) + "야키오"(라틴어 : iaciō , 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키 가 최초로 사용하였다.
↑ Susanna S.Epp (2010). 《Discrete Mathematics with Applications 4th Edition》. 398쪽. For a one-to-one function, each element of the range is the image of at most one element of the domain.
