집합론에서 연속체 가설(連續體假說, 영어: continuum hypothesis, 약자 CH)은 실수 집합의 모든 부분 집합은 가산 집합이거나 아니면 실수 집합과 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.^[1]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 연속체 가설이라고 한다.

• ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}}$. 즉, ${\displaystyle \aleph _{0}}$(가산 무한 집합의 크기)과 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.
• 임의의 실수의 집합 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle S}$가 가산 집합이 아니라면, ${\displaystyle |S|=\mathbb {R} }$이다.
• 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ 위의 유리 함수 가군 ${\displaystyle \mathbb {C} (x,y,z)}$의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.)^{[2][3]:Theorem 2.51}
• 가산 개의 체들의 직접곱의 대역 차원은 항상 2이다.^[3]:60
• (웨첼 문제 영어: Wetzel’s problem) 다음 두 조건을 만족시키는 전해석 함수들의 족 ${\displaystyle \{f_{i}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \}_{i\in I}}$이 존재한다.^[4][5]
  • 임의의 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$에 대하여, ${\displaystyle \{f_{i}(z)\}_{i\in I}}$는 가산 집합이다.
  • ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$는 비가산 집합이다.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 일반화 연속체 가설(一般化連續體假說, 영어: generalized continuum hypothesis, 약자 GCH)이라고 한다.

• 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$에 대하여, ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$. 여기서 ${\displaystyle \aleph }$는 알레프 수이다.
• 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$에 대하여, ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$. 여기서 ${\displaystyle \beth }$는 베트 수이다.
• 임의의 무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \kappa <\lambda <2^{\kappa }}$인 기수 ${\displaystyle \lambda }$가 존재하지 않는다.
• 임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle |\{A\subseteq \kappa \colon |A|\in S\}|=\kappa ^{+}}$가 되는 기수 집합 ${\displaystyle S\subset \operatorname {Card} }$가 존재한다.^[6] (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 ${\displaystyle \kappa ^{+}=\min\{\lambda \in \operatorname {Card} \colon \kappa <\lambda \}}$이다.

집합 ${\displaystyle X}$와 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 다음과 같은 명제 ${\displaystyle {\mathsf {AX}}(X,\kappa )}$를 생각하자.

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}_{\leq \kappa }(X)}$에 대하여, ${\displaystyle x\not \in f(y)}$이자 ${\displaystyle y\not \in f(x)}$가 성립하는 ${\displaystyle x,y\in X}$가 존재한다.

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\leq \kappa }(X)=\{S\subseteq X\colon |S|\leq \kappa \}}$는 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 이하의 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들로 구성된 집합족이다. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ 아래 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\mathsf {AX}}(2^{\kappa },\kappa )\iff 2^{\kappa }\neq \kappa ^{+}}$

즉, ${\displaystyle \lnot {\mathsf {CH}}\iff {\mathsf {AX}}(2^{\aleph _{0}},\aleph _{0})}$이며, ${\displaystyle \lnot {\mathsf {GCH}}\iff \forall \kappa \in \operatorname {Card} \colon {\mathsf {AX}}(2^{\kappa },\kappa )}$이다. 특히, ${\displaystyle {\mathsf {AX}}(2^{\aleph _{0}},\aleph _{0})}$를 프라일링 대칭 공리(영어: Freiling’s axiom of symmetry)라고 한다. 이는 크리스토퍼 프랜시스 프라일링(영어: Christopher Francis Freiling)이 도입하였다.^[7] 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

ZFC에 구성 가능성 공리(${\displaystyle V=L}$)를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

윌리엄 휴 우딘은 소위 오메가 논리(영어: Ω-logic)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실

${\displaystyle \aleph _{2}=2^{\aleph _{0}}}$

이라는 논의를 폈다.^[8][9] 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

고유 강제법 공리(영어: proper forcing axiom)를 가정하면,

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$

이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다.

연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.^[10]:147

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}={\begin{cases}\aleph _{\beta +1}&\alpha \leq \beta +1\\\aleph _{\alpha }&\beta +1<\alpha ,\;\aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })\\\aleph _{\alpha +1}&\beta +1<\alpha ,\;\aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })\\\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {cf} }$는 기수의 공종도이다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 모든 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \gimel (\kappa )=\kappa ^{+}}$

또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다.

커플랜스키 추측(영어: Kaplansky conjecture)은 다음과 같은 명제이다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 위의, 복소수 값의 연속 함수들의 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )}$를 생각하자. 임의의 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle B}$ 및 임의의 복소수 대수 준동형 ${\displaystyle f\colon {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )\to B}$은 복소수 바나흐 대수 사상이다 (즉, 연속 함수이다).

이는 어빙 커플랜스키가 제시하였다. 만약 ZFC가 무모순적이라면 이 명제는 ZFC와 독립적이다.^[11]:ix–x 연속체 가설은 커플랜스키 추측의 부정을 함의한다.^[12]

연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다.^[13]:§2 1905년에 영국의 수학자 필립 조던(영어: Philip Jourdain)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.^[14]

연속체 가설에 대하여 퍼넬러피 매디(영어판)는 다음과 같이 적었다.

쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다.^[16][17] 구체적으로, 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다. 폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다.^[18][19][20] 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다.

1980년대의 집합론자들의 의견에 대하여 퍼넬러피 매디(영어판)는 1988년에 다음과 같이 적었다.

2006년에 얀 미치엘스키는 다음과 같이 적었다.

• 절대적 무한
• 베트 수
• 집합의 크기

• “Continuum hypothesis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Continuum hypothesis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Continuum hypothesis”. 《nLab》 (영어). 
• Koellner, Peter (2013년 5월 22일). “The continuum hypothesis”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어). 2015년 3월 14일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 16일에 확인함. 
• McGough, Nancy (1998년 2월 24일). “The continuum hypothesis”. 《Infinite Ink》 (영어). 
• Foreman, Matthew (2003). “Has the continuum hypothesis been settled?” (PDF). 《Logic Colloquium 2003, Helsinki, Finland, August 14–20, 2003》 (영어). 헬싱키 대학교. 
• “Solutions to the continuum hypothesis” (영어). Math Overflow. 2016년 8월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 3일에 확인함. 
• “When was the continuum hypothesis born?” (영어). Math Overflow. 2016년 8월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 3일에 확인함. 
• “Axiom of symmetry, aka Freiling's argument against CH” (영어). Math Overflow. 2016년 8월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 11일에 확인함.