수학에서 초른 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理, 영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 부분 순서 집합이 극대 원소를 가질 충분조건을 제시하는 보조정리다. 선택 공리와 동치이다.
정의
원순서 집합 의 정렬 사슬(영어: well-ordered chain)은 정렬 집합을 이루는 사슬 이다. (공집합 역시 정렬 사슬로 간주한다.) 또한, 원순서 집합 에 대하여, 가 의 극대 원소들의 집합이라고 하자. (극대 원소란 임의의 에 대하여 만약 이라면 을 만족시키는 원소 이다.) 또한, 와 는 각각 상폐포와 하폐포를 뜻한다.
원순서 집합 가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. (즉, 의 모든 정렬 사슬이 상계를 갖는다고 하자. 특히, 공집합의 상계가 존재하므로 는 공집합이 아니다.) 초른 보조정리에 따르면, 이다. 다시 말해, 임의의 에 대하여 와 비교 가능한 극대 원소 가 존재한다. (특히, 이므로 이다. 다시 말해, 는 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.)
증명:
귀류법을 사용하자. 닫힌 원순서 집합 이 주어졌으며, 또한 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 선택 공리를 사용하여 고를 수 있다.
- 함수 는 의 모든 정렬 사슬 에 대하여, 그 상계 를 대응시킨다. (여기서 는 의 정렬 사슬들의 집합이다.) 또한, 특히 라고 하자.
- 함수 는 를 만족시킨다. (란 를 뜻한다.)
임의의 순서수 에 대하여, 초한 귀납법으로 다음과 같은 원소열을 정의하자.
임의의 두 순서수 에 대하여 이면 이므로, 는 순서수의 고유 모임 에서 로 가는 단사 함수를 정의한다. 그러나 순서수의 고유 모임은 집합의 부분 집합이 될 수 없으므로, 모순이다. 따라서 귀류법이 성립한다.
예
원순서 집합 의 사슬들의 부분 순서 집합 을 생각하자. 그렇다면, 사슬들의 사슬 의 합집합은 역시 사슬이므로, 초른 보조정리에 따라 속에는 극대 사슬이 존재하며, 의 임의의 사슬은 어떤 극대 사슬의 부분 집합이다. 이 사실을 하우스도르프 극대 원리(Hausdorff極大原理, 영어: Hausdorff maximal principle)라고 한다. 이 역시 선택 공리 및 초른 보조정리와 동치이다.
역사
하우스도르프 극대 원리는 1914년에 펠릭스 하우스도르프가 최초로 사용하였다.
카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.[1] 막스 초른이 1935년에 같은 정리를 "극대 원소 원리"(영어: maximum principle)라는 이름으로 발표하였고,[2]:667 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다.
"초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 니콜라 부르바키가 《집합론》(프랑스어: Théorie des ensembles)에서 사용하였다.[3]
같이 보기
각주
외부 링크