レピュニット

レピュニット (レピュニット数レプユニット数単位反復数: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである[注釈 1]

10進法におけるn桁のレピュニットは の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

mn を割り切るならば、RmRn を割り切る。よって、n合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき(n が 1 = 30 のときも含む)は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数
  • 偶数 - 11
    • 4の倍数 - 11 · 101
    • 6の倍数 - 3・7・11・13・37
  • 3の倍数 - 3 · 37
  • 5の倍数 - 41 · 271
  • 7の倍数 - 239 · 4649
  • 17の倍数 - 2071723 · 5363222357
など

901型の例

前述の通り、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数の時、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 n-1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると以下のようになる。

n(奇数) 2 × n R2n R2nの値(2×n桁) R2 × Rn R2 × Rnの値(n+1桁) R2n ÷ R2 ÷ Rnの値(n-1桁) R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
3 6 R06 111111 R2 × R3 1221 × 91 7 · 13
5 10 R10 1111111111 R2 × R5 122221 9091 素数
7 14 R14 11111111111111 R2 × R7 12222221 909091 素数
9 18 R18 111111111111111111 R2 × R9 1222222221 90909091 7 · 13 · 19 · 52579
11 22 R22 1111111111111111111111 R2 × R11 122222222221 9090909091 11 · 23 · 4093 · 8779

nが偶数の時のR2n、その他 についての例は以下。

  • R12 = 11222211 × 9901
  • R20 = 1222210000122221 × 9091
  • R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
  • R28 = 1222222100000012222221 × 909091
  • R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
  • R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
など
  • R06 = 11 × (9091 + 1010)
  • R08 = 11 × (909091 + 101010)
  • R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

[3][4][5][6]


1と0のみで表す例

n (10n/2 − 1) / 9 [7] 10n/2 + 1
R02 1 1 × 11 11
R04 11 11 × 101 101
R06 3 · 37 111 × 1001 7 · 11 · 13
R08 11 · 101 1111 × 10001 73 · 137
R10 41 · 271 11111 × 100001 11 · 9091
n
R02 0001 × 11 1 × 11
R03 # 0001 × 111
R04 $ 0001 × 1111 11 × 101
R05 % 0001 × 11111
R06 & 0001 × 111111 111 × 1001
# 0011 × 10101
R07 * 0001 × 1111111
R08 $ 0011 × 1010101 1111 × 10001
R09 # 0111 × 1001001
R10 % 0011 × 101010101 11111 × 100001
R12 & 0011 × 10101010101 111111 × 1000001
$ 0111 × 1001001001
# 1111 × 100010001
R14 * 0011 × 1010101010101 1111111 × 10000001
n
R06 1 × 111 × 1001 91 · 11
R12 11 × 10101 × 1000001 9901 · 101
R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001 · 1001
R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001 · 10001
n
R04 11 × 101
R08 101 × 110011
R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91
R16 10001 × 111100001111
R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091
R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

[8]

n Rn×(10n+1)
[9][10][11]
R02 6252 6252 6252
R03 562 − 552 562552
R04 562 − 452 5562 − 5552
R05 55562 − 55552
R06 5562 − 4452 555562 − 555552 5056250452 6562 − 5652
R07 5555562 − 5555552
R08 55562 − 44452 0G(省略)
R09 0F(省略) 50055625004452
R10 0E(省略) 0E(省略) 656562 − 565652
R11 0D(省略)
R12 0C(省略) 0C(省略) 500055562500044452
R13 0B(省略)
R14 0C(省略) 0A(省略) 65656562 - 56565652

レピュニット素数

現在、Rnn = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した[12]

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し[13]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[14][リンク切れ]。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[15]

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を[16]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した[17]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

Rn = (10n − 1) / 9
No. n 発見者 素数判定
1 2 - -
2 19 - -
3 23 - -
4 317 1978 Williams
5 1031 1986 Williams, Dubner
6 49081 1999 Dubner
7 86453 2000 Baxter -
8 109297 2007 Dubner -
9 270343 2007 Voznyy -
10 5794777 2021 Batalov, Ryan -
11 8177207 2021 Batalov, Ryan -

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、25を除く素数の積で構成されている[18]

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す[19]

n素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

基数10 のレピュニットのRn(n=1~122)の素因数分解の表
n 素因数分解
 
1 0 01
2 1 11 (素数)
3 2 03 · 37
4 2 11 · ‾C101
5 2 41 · 271
6 5 03 · 07 · 11 · 13 · 37
7 2 ‾C239 · 4649
8 4 11 · 73 · ‾C101 · 137
9 4 032 · 37 · ‾F333667
10 4 11 · 41 · ‾C271 · 9091
11 2 ‾E21649 · 513239
12 7 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C101 · 9901
13 3 53 · 79 · 265371653
14 4 11 · ‾C239 · 4649 · 909091
15 6 03 · 31 · 37 · 41 · ‾C271 · 2906161
16 6 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
17 2 ‾G2071723 · 5363222357
18 9 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾E52579 · 333667
19 1 ‾S1111111111111111111 (素数)
20 7 11 · 41 · ‾C101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
21 7 03 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
22 7 112 · 23 · ‾D4093 · 8779 · 21649 · 513239
23 1 ‾W11111111111111111111111 (素数)
24 10 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
25 5 41 · 271 · ‾E21401 · 25601 · 182521213001
26 6 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
27 7 033 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
28 8 11 · 29 · ‾C101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
29 5 ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
30 13 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · ‾C211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
31 3 ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359
32 11 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
33 6 03 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
34 6 11 · ‾C103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
35 7 41 · 071 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
36 12 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾C101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
37 3 ‾G2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
38 3 11 · ‾R909090909090909091 · 1111111111111111111
39 6 03 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
40 11 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
41 4 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
42 15 03 · 072 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
43 4 ‾C173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
44 11 112 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
45 10 032 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
46 6 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
47 2 ‾H35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
48 13 03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · ‾C101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
49 4 ‾C239 · 4649 · ‾I505885997 · 1976730144598190963568023014679333
50 10 11 · 41 · ‾C251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
51 8 03 · 37 · ‾C613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
52 9 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
53 4 ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
54 14 033 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
55 8 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
56 12 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
57 6 03 · 37 · ‾E21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
58 8 11 · 59 · ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
59 2 ‾M2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
60 20 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · ‾C101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
61 7 ‾C733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
62 5 11 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
63 14 032 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
64 15 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
65 7 41 · 053 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
66 15 03 · 07 · 112 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
67 3 ‾F493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
68 10 11 · ‾C101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
69 6 03 · 37 · ‾C277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
70 12 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
71 2 ‾ZD241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
72 18 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
73 3 ‾K12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
74 7 11 · ‾D7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
75 12 03 · 31 · 37 · 41 · ‾C151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
76 6 11 · ‾C101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
77 8 ‾C239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
78 15 03 · 07 · 11 · 132 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
79 6 ‾C317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917
80 15 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
81 13 034 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
82 7 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
83 3 ‾M3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477
84 21 03 · 072 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
85 7 41 · 271 · ‾G2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
86 8 11 · ‾C173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
87 10 03 · 37 · ‾D3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
88 15 112 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
89 5 ‾F497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159
90 22 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721
91 12 53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013
92 10 11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
93 6 03 · 37 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94 6 11 · ‾D6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279
95 8 41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751
96 22 03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001
97 3 ‾H12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98 8 11 · ‾C197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533
99 12 032 · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883
100 17 11 · 41 · ‾C101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901
101 3 ‾ZB4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969
102 16 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357
103 3 ‾D1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853
104 13 11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201
105 17 03 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441
106 6 11 · ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
107 8 ‾C643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849
108 20 033 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281
109 4 ‾G1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547
110 18 112 · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121
111 9 03 · 372 · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117
112 17 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377
113 3 ‾C227 · 908191467191 · 53895712312217719065267103426685397298498705173449226555003346881878523705781079015749721646701723
114 12 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾E21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407
115 8 41 · 271 · ‾E31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041
116 13 11 · 59 · ‾C101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 1181180637520183640867963573625866958318­7541
117 12 032 · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573
118 6 11 · ‾D1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755­746751
119 8 ‾C239 · 4649 · ‾F923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 3230129421485627516508145444373504546404­48842187
120 26 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001
121 6 15973 · 21649 · 38237 · 274187 · 513239 · 597149176209530412360795391497657340159943421992502538230831481682232969649167277637825641074323
122 10 11 · 733 · 4637 · 81131 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479 · 11205222530116836855321528257890437575145023592596037161

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してn桁のレピュニットは と定義される。

前述の通り、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an − 1約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[20])。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

脚注

注釈

  1. ^ アルバート・ベイラーは以下のように記している:

    A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. [1]

出典

  1. ^ Beiler 2013, pp. 83
  2. ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.
  3. ^ 电算游戏(六)“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
  4. ^ 电算游戏(六)之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
  5. ^ 1111…1という数(レピュニット)の素因数分解を納得する - アジマティクス
  6. ^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
  7. ^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
  8. ^ World!Of Numbers
  9. ^ Number Theory の話題(Repunit Number と Zsigmondy's Theorem)
  10. ^ nombre - onze en maths
  11. ^ persistance et repdigits
  12. ^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
  13. ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
  14. ^ Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
  15. ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
  16. ^ New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月20日). 2022年3月29日閲覧。
  17. ^ It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
  18. ^ {{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
  19. ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
  20. ^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation , Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001.

参考文献

  • Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4, https://books.google.co.jp/books?id=NbbbL9gMJ88C 
  • Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0, https://books.google.co.jp/books?id=XnwsAQAAIAAJ 
  • Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246 
  • Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9, https://books.google.co.jp/books?id=2VTSBwAAQBAJ 
  • Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8, https://books.google.co.jp/books?id=3_vuAAAAMAAJ 

関連項目

外部リンク


Read other articles:

Proposed rail undersea tunnel Helsinki–Tallinn TunnelA map of the assessed tunnel routes between Tallinn and HelsinkiOverviewLocationGulf of Finland (Baltic Sea)StatusPlannedStartÜlemiste, EstoniaEndPasila, Helsinki, FinlandTechnicalNo. of tracks2Track gauge1,435 mm (4 ft 8+1⁄2 in) (standard gauge) The tunnel in the context of the larger Rail Baltica project The Helsinki–Tallinn Tunnel is a proposed undersea tunnel that would span the Gulf of Finland and connect...

American abolitionist (1805–1875)[ Ann Carroll Smith (née Fitzhugh; 1805–1875)[1] was an American abolitionist, mother of Elizabeth Smith Miller, and the spouse of Gerrit Smith. Her older brother was Henry Fitzhugh. Ann and Gerrit Smith's Peterboro, New York, home was a station on the Underground Railroad. Known as Nancy,[2] Ann Fitzhugh Smith frequently traveled via an enclosed carriage to permit her carriage to be used, in her absence, to convey veiled fugitives on thei...

Tata nama senyawa kimia adalah serangkaian aturan persenyawaan kimia yang disusun secara sistematis. Tata nama kimia disusun berdasarkan aturan IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry). Senyawa ionik Berkas:Wikiyoen.jpgContoh penamaan senyawa ionik Senyawa ionik terbentuk dari kation (ion positif) dan anion (ion negatif). Kebanyakan senyawa ionik merupakan senyawa biner, yaitu senyawa yang terbentuk hanya dari dua unsur. Untuk senyawa ionik biner, penamaan dimulai dari kation...

Festival Internacional de Cine Erótico de Barcelona País Espanha Página oficial Uma dançarina no FICEB 2006 O Festival Internacional de Cine Erótico de Barcelona (FICEB) é um festival anual e cerimônia de premiação do cinema pornográfico espanhol. O evento começou em 1993 com o objetivo de dinamizar e normalizar a indústria do sexo na Espanha. Desde 1997 tem sido realizado no centro de convenções La Farga em L'Hospitalet de Llobregat, uma cidade nos arredores de Barcelona.[1] Em...

مونتالدو بورميدا     الإحداثيات 44°41′01″N 8°35′20″E / 44.683611111111°N 8.5888888888889°E / 44.683611111111; 8.5888888888889  [1] تقسيم إداري  البلد إيطاليا[2]  التقسيم الأعلى مقاطعة ألساندريا  خصائص جغرافية  المساحة 5.72 كيلومتر مربع (9 أكتوبر 2011)[3]  ارتفاع 334 متر  ع

Penyuntingan Artikel oleh pengguna baru atau anonim untuk saat ini tidak diizinkan.Lihat kebijakan pelindungan dan log pelindungan untuk informasi selengkapnya. Jika Anda tidak dapat menyunting Artikel ini dan Anda ingin melakukannya, Anda dapat memohon permintaan penyuntingan, diskusikan perubahan yang ingin dilakukan di halaman pembicaraan, memohon untuk melepaskan pelindungan, masuk, atau buatlah sebuah akun. Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon...

Harvey WeinsteinWeinstein in April 2011Lahir19 Maret 1952 (umur 71)Kota New York, New York, U.S.PekerjaanProduser filmTahun aktif1979–2017Suami/istriEve Chilton ​ ​(m. 1987; c. 2004)​ Georgina Chapman ​ ​(m. 2007; sep. 2017)​Anak5 Harvey Weinstein (/ˈwaɪnstiːn/; lahir 19 Maret 1952) merupakan mantan produser film berkebangsaan Amerika Serikat. Dia dan saudaranya Bob Weinstein ikut me...

Dieser Artikel beschreibt den Musiker. Ein Artikel über den Regisseur Jörg Michael befindet sich unter dessen bürgerlichem Namen Jürgen Enz. Jörg Michael, 2009 Jörg Michael (* 27. März 1963 in Dortmund) ist ein deutscher Heavy-Metal-Schlagzeuger. In seiner über 25-jährigen Karriere spielte er u. a. in den Bands Grave Digger, Rage, Mekong Delta, Axel Rudi Pell, Running Wild und Saxon. Von 1996 bis 2012 spielte er fest in der finnischen Formation Stratovarius. Michaels Schlagzeug beste...

ДостопримечательностьЗдание бывшего духовного училищабелор. Будынак былога духоўнага вучылішча 52°25′40″ с. ш. 31°01′09″ в. д.HGЯO Страна  Белоруссия Город Гомель Архитектурный стиль классицизм Архитектор Джон Кларк[be] Строительство 1799—1819 годы  Медиафайл...

This article is part of a series on theState governments of the United States State constitution Comparison Statehouse Executive State executives Governor (List) Other common officials: Attorney general Auditor/Comptroller Lieutenant governor Secretary of state Treasurer Agriculture commissioner List of statewide elected officials Legislative State representatives (Alabama to Missouri, Montana to Wyoming) State senators List of legislatures Judiciary State supreme court State court Local offi...

Mayor Jenderal TNI (Purn.)Mohammad MunibS.I.P.Pa Sahli Tk. III Kasad bidang PolkamnasMasa jabatan25 Februari 2022 – 27 Juni 2022PendahuluDwi Jati UtomoPenggantiJunaediKepala Pusat Zeni Angkatan Darat ke-1Masa jabatan9 April 2020 – 25 Februari 2022PendahuluTidak ada, Jabatan baruPenggantiAby Ismawan Informasi pribadiLahir29 Juli 1964 (umur 59)Kebumen, Banyubiru, Semarang, Jawa TengahSuami/istriDayana MunibAlma materAkademi Militer (1987)Karier militerPihak I...

У Вікіпедії є статті про інші громади з назвою: Іванівська селищна громада. Іванівська селищна громадаОсновні даніКраїна  УкраїнаОбласть Одеська областьРайон Березівський районКод КАТОТТГ UA51020090000073639Утворена 22 грудня 2019 рокуАдмін. центр ІванівкаТериторія та населе�...

Association football club in Pristina, Kosovo KF Prishtina redirects here. Football clubPrishtinaFull nameFootball Club PrishtinaNickname(s)Plisat (The Clods)Short namePRI or FCPFounded1922; 101 years ago (1922), as KosovaGroundFadil Vokrri StadiumCapacity13,980OwnerRemzi Ejupi (50%)Rahman Haradini (50%)ChairmanHakif GashiManagerNdubuisi EgboLeagueKosovo Superleague2022–23Kosovo Superleague, 5th of 10WebsiteClub website Home colours Away colours Current season Football Clu...

Former music venue in Denver, Colorado 1601 W. Evans Ave, Denver, CO, 80223. Home of the Family Dog Denver, 1967-1968 The Family Dog DenverThe Dog, The Denver DogFull nameThe Family Dog DenverLocation1601 West Evans AvenueDenver, ColoradoCoordinates39°40′43.22″N 105°0′23.64″W / 39.6786722°N 105.0065667°W / 39.6786722; -105.0065667OwnerChet Helms, Bob Cohen, Barry FeyOpenedSeptember 8, 1967ClosedJuly 19, 1968 The Family Dog Denver (also known as The Family D...

American politician Sherman LelandPresident of the Massachusetts SenateIn office1828–1829Preceded byJohn MillsSucceeded bySamuel LathropMember of theMassachusetts SenateNorfolk County District[1]In office1828[1]–1829[1]Member of theMassachusetts SenateNorfolk County District[1]In office1823[1]–1824[1]Member of theMassachusetts Constitutional Convention of 1820[2]In office1820[2]–1820[2]Member of theMassachusetts H...

Editing an entry of the NOED using LEXX LEXX is a text editor which was possibly the first to use live parsing and colour syntax highlighting. It was written by Mike Cowlishaw of IBM in 1985. The name was chosen because he wrote it as a tool for lexicographers, during an assignment for Oxford University Press's 'New Oxford English Dictionary' (NOED; the second edition of the Oxford English Dictionary).[1] The program ran (and still, in 2018, runs[2]) on mainframes under VM/CMS...

Volleyball events were contested at the 1998 Central American and Caribbean Games in Maracaibo, Venezuela. Medal summary Event Gold Silver Bronze Men’s tournament  CubaYosenki GarcíaAlain RocaÁngel DennisIhosvany HernándezRaúl DiagoNicolás VivesAlexeis ArgilagosIván RuizOsvaldo HernándezPavel PimientaRamón GatoRodolfo Sánchez  MexicoGerardo ContrerasLuis ContrerasCarlos CoronatoJuan GarcíaAlejandro GutiérrezJosé MartellGerardo MartínezVíctor PurataIgnacio RamírezJes...

Rugby playerVirimi VakatawaVakatawa with Racing 92 in 2012Birth nameVirimi VakatawaDate of birth (1992-05-01) 1 May 1992 (age 31)Place of birthRangiora, New ZealandHeight1.86 m (6 ft 1 in)[1]Weight99 kg (218 lb)[1]Rugby union careerPosition(s) Centre, Wing[1]Current team Bristol BearsYouth career2010–2011 Naluwai RC[2]Nasinu Secondary School[2]Racing 92[3]Senior careerYears Team Apps (Points)2011–2013 Racing 92 ...

American actress This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Daniela Nieves – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2015) (Learn how and when to remove this template message) ...

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada 2014. Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti m...