フォイエルバッハの定理
フォイエルバッハの定理 幾何学 において、フォイエルバッハの定理 （フォイエルバッハのていり、英 : Feuerbach's theorem ）は、三角形 の九点円 と内接円ないし傍接円 が接する という定理 である。カール・フォイエルバッハ の名を冠する。
三角形の辺の各中点 、頂点と垂心 の中点、三角形の頂点から対辺に降ろした垂線 の足は共円 である。この円を九点円 という。
三角形の3辺に、内接する円を内接円 という。三角形の3辺の1つと内部で接し、2つと外部で接する円を傍接円 という。
三角形の九点円と、内接円または傍接円は接する 。これをフォイエルバッハの定理 という。内接円と九点円の接点は、フォイエルバッハ点 と呼ばれる。
カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハ ウィルキンソンの提起した問題。垂心系を成す4点からなる4つの三角形の九点円は一致する。 フォイエルバッハの定理の歴史はジョン・スタージャン・マッカイ （英語版 ） [ 3]
フォイエルバッハの定理は、1822年のカール・フォイエルバッハのモノグラフ『Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geridlinigen Dreiecks』の§57で初めて証明された。フォイエルバッハによる証明は九点円の中心と内心の距離を計算する方法による。1833年、ヤコブ・シュタイナー は、論文『Die geometrischen Con structionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises』の最後の脚注に、フォイエルバッハの功績を知らぬまま、定理について述べた。1842年、オルリー・テルケム が解析的なフォイエルバッハの定理の証明を行った。初等幾何学 的証明は、雑誌『Nouvelles Annales 』における1850年のJ. Mentionの作品『Note sur le triangle rectiligne』で示された。1854年に、W. H. レヴィが『The Lady's and Gentleman's Diary （英語版 ） 垂心系 （英語版 ） [ 注釈 1] ジョージ・サーモン は、『The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 』で、フォイエルバッハの定理について、次の様に述べた。
" The following elementary theorems may interest some of the readers of the Quarterly Journal..."
同年11月27日、ジョン・ケイシー は、『Quarterly Journal』で、現在ケイシーの定理 と呼ばれる定理を用いてフォイエルバッハの定理を示した。ケイシーの書籍『Sequel to Euclid』にも、証明が示されている。
他に、C. Leudesdorf（1884）、サミュエル・ロバーツ （英語版 ） ヴィクトル・テボー （1910）など多くの数学者が、フォイエルバッハの定理を独自に証明している。日本では、澤山勇三郎 が約20通りの証明をしたことで知られる[ 注釈 2]
フォイエルバッハの定理の証明 にはさまざまなものが知られ、現代でも新たな証明が発見される[ 19] 自動定理証明 を用いるものも存在する。マッカイの論文内でも、マッカイ自身やE. M. ラングレー などによる、9つの証明が紹介されている。次の証明はケイシーの定理 、特にパーサーの定理 を使うものである。
△ABC について、BC, CA, AB の中点をそれぞれD, E, F 、BC, CA, AB と内接円の接点 をそれぞれX, Y, Z
E
F
¯ ¯ -->
=
a
2
,
F
D
¯ ¯ -->
=
b
2
,
D
E
¯ ¯ -->
=
c
2
,
D
X
¯ ¯ -->
=
|
b
− − -->
c
2
|
,
E
Y
¯ ¯ -->
=
|
c
− − -->
a
2
|
,
Y
Z
¯ ¯ -->
=
|
a
− − -->
b
2
|
.
{\displaystyle {\overline {EF}}={\dfrac {a}{2}},\quad {\overline {FD}}={\dfrac {b}{2}},\quad {\overline {DE}}={\dfrac {c}{2}},\quad {\overline {DX}}=\left|{\dfrac {b-c}{2}}\right|,\quad {\overline {EY}}=\left|{\dfrac {c-a}{2}}\right|,\quad {\overline {YZ}}=\left|{\dfrac {a-b}{2}}\right|.}
が計算できる。適切に符号を選ぶことで、
D
X
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
E
F
¯ ¯ -->
± ± -->
E
Y
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
F
D
¯ ¯ -->
± ± -->
F
Z
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
D
E
¯ ¯ -->
=
0
{\displaystyle {\overline {DX}}\cdot {\overline {EF}}\pm {\overline {EY}}\cdot {\overline {FD}}\pm {\overline {FZ}}\cdot {\overline {DE}}=0}
とすることができるため、ケイシーの定理の逆より、内接円と九点円は接する。同様にして傍接円と九点円が接することも証明できる。
フォイエルバッハの定理の一般化 ・拡張もまた様々なものが知られている。
1857年、ジョン・ジョシュア・ロビンソンは『The Lady's and Gentleman's Diary』で次の定理を示した。
三角形の内接円及び傍接円の根心 4つを取り、これら根心からなる三角形の内接円と傍接円の根心を取る。このような操作を繰り返して得られるすべての円は、最初の三角形の九点円に接する。
ハートの定理 1862年、アンドルー・サール・ハート は、六円定理 を九円定理に拡張するように、3辺が直線 でなくともよいことを示した。
フォントネーの定理 次の定理は、1880年にヴェイユ、1889年にW. S. マッケイ 、1905年にジョルジュ・フォントネー が示したものである。ハミルトン （Sir William R. Hamilton）も同様の結果を得ている。
点P とその等角共役点 P' と三角形の外心 が共線 ならば、P, P' の垂足円 は九点円に接する。 P を内心か傍心とすればフォイエルバッハの定理となる。P, P' が外心と共線になるようなP はマッケイ三次曲線 上にある。
一般に、等角共役な2点P, P' の垂足円と九点円の2交点は、三角形の3頂点とそれぞれP, P' を通る直角双曲線 の中心である。
ロジャースの定理 1930年、レナード・ジェームズ・ロジャース は、『Mathematical Gazette 』において、円錐曲線 の連合準円 を用いて、一般化を行った。1897年、V・ラマスワミ・エイヤール も、似た結果を導出している[ 30]
三角形の内接円錐曲線 と、その円錐曲線と焦点 を共有する外心を通る円錐曲線の連合準円は九点円に接する。 内接円錐曲線の2焦点が外心と共線であるとき、フォントネーの定理を得る[ 注釈 3]
荻野修作 は、フォントネーの定理やロジャースの定理の拡張を2つ示している。次はその1つ目の定理である。
三角形の外心と九点円の中心をそれぞれO, N とする。焦点をP, Q とする内接円錐曲線Γ について、∠POQ における等角共役線l, l' を書く。Γ とΓ に共焦点 でl, l' に接する円錐曲線の連合準円と、九点円の交点X, Y はl, l' の直極点 である。さらに、直線NX, NY の成す角はl, l' の成す角の2倍の角に等しい。 l, l' の成す角が、0, 180度ならば、ロジャースの定理を得る。l, l' がOP, OQ に一致すれば、フランク・モーリー が著書『Inversive Geometry』で示した、フォントネーの定理の拡張になる。
次の定理は1917年、M. Bhimasena Rao（ラオー）がインド数学会 （英語版 ） The Journal of the Indian Mathematical Society （JIMS）』で発表したものである。
点P とその等角共役点 P' と類似重心 が共線ならば、それぞれP, P' を中心とする内接円錐曲線と辺の接点を通る円は九点円と接する。 P を内心か傍心とすれば、フォイエルバッハの定理を得る。逸見伝三郎 、濱田隆資 らは、この定理の拡張を示している。また、P, P' が類似重心と共線になるようなP はグリーブ三次曲線K102上にある[ 35]
ラオーなどJIMSへの寄稿者はまた、他にもフォイエルバッハの定理に関する定理を多く残している。次の定理はその一例。
点P の垂足円が九点円に接するとき∠PAB + ∠PBC + ∠PCA = 90° 。
1907年、ラウル・ブリカール は、『Nouvelles Annales de Mathématiques 』において、有向直線を用いた拡張を発表した。
3対の平行 な同じ向きの有向直線(A 1 , B 1 ), (A 2 , B 2 ), (A 3 , B 3 ) について、(A 1 , A 2 , A 3 ), (A 1 , B 2 , B 3 ), (B 1 , A 2 , B 3 ), (B 1 , B 2 , A 3 ) に接する同じ向きの有向円は、ある一つの有向円に接する。 B 1 , B 2 , B 3 中点三角形 にすると、フォイエルバッハの定理を得る。
1943年、濱田隆資 は根円 を用いて拡張を行った。2021年には、Tran Quang HungとNguyen Thi Thuy Duongも同様の定理を得ている。
任意の点P の垂足三角形 を△Pa Pb Pc とする。BC, CA, AB の中点を中心とし、それぞれPa , Pb , Pc を通る円の根円は九点円に接する。 1925年、J. P. Gabbattは、一般に任意の点P, Q の辺に対する垂足を反転 によって移すような、辺の中点を中心とする3円の根円と、九点円の2交点は、P, Q と外心を結ぶ直線の直極点 であることを示した。更に、3円の中心が、辺の中点以外（外心以外の垂足三角形の頂点）では成立しないことも示している。
2023年、Nguyen Ngoc GiangとLe Viet Anは3つの一般化を示した。次の定理はその一つである。
△ABC とその垂心でないかつ辺上、外接円上にない任意の点P について、PB, PC におけるA の直交射影 を結ぶ直線をla として、lb , lc も同様に定義する。la , lb , lc から成る三角形の外接円は、P の垂足円に接する。
1916年、フランク・モーリー は雑誌『Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 』において、三級曲線（任意の点から実あるいは虚の接線を3本引くことができる代数曲線 ）への拡張を発表した。
垂心系 （英語版 ） 虚円点 を通る三級曲線は、垂心系の作る三角形の九点円に接する。
1919年、マルグーズー（Malgouzou）は、三次曲線 への拡張を示したが、複雑な手順を要しており、また、ハートの定理のように、直接的な拡張とはなっていない。
三次曲線C と点O について、O を通る直線l がC と3点P, Q, R で交わっているとする。今、
(
1
O
X
− − -->
1
O
P
)
(
1
O
X
− − -->
1
O
Q
)
+
(
1
O
X
− − -->
1
O
Q
)
(
1
O
X
− − -->
1
O
R
)
+
(
1
O
X
− − -->
1
O
R
)
(
1
O
X
− − -->
1
O
P
)
=
0
{\displaystyle ({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OP}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OQ}})+({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OQ}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OR}})+({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OR}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OP}})=0}
を満たす点X が2つ存在する。l を動かしたとき、X の軌跡 は極円錐曲線と呼ばれる円錐曲線になる。さらにある定直線L に極円錐曲線が接するようにO を動かしたとき、O の軌跡はPoloconicと呼ばれる円錐曲線になる。Poloconicが円となるようなL は4つ存在するが、このときの4円は、一つの円に接する。 C が3直線へ退化 したとき、フォイエルバッハの定理を間接的に得る。
他に、ユークリッド空間 や非ユークリッド平面 （双曲平面 やミンコフスキー平面 ）、ヒルベルト平面 、あるいは九点円錐曲線 などへの拡張なども示されている。
^ △ABC の垂心 をH とすると、△BCH の辺の各中点は、BC, BH, CH の各中点であるから、△ABC と△BCH の九点円は一致する。同様に△CAH 、△ABH の九点円も一致することが分かる。^ 森本清吾 による澤山の論文をまとめた書籍『澤山勇三郎全集』によれば、澤山は『東京物理学校雑誌』に発表した証明の中で、ケイシーの定理や解析幾何学 を用いたものには番号を付けなかった。^ 三角形の任意の内接円錐曲線の2つの焦点は等角共役 の関係にある。円錐曲線とその2焦点を通る直線の連合準円は円錐曲線の補助円（Auxiliary Circle）となり、等角共役点を焦点とする内接円錐曲線の補助円は垂足円であることから従う。
The Mathematical Gazette
The Mathematical Gazette （ISSN 0025-5572 ）にはフォイエルバッハの定理を扱うものが数多く存在する。
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